Сколько целочисленных решений имеет неравенство x² + 5x - 6 ⩽ 0 и каковы они?

Для начала, давайте решим неравенство x² + 5x - 6 ⩽ 0, используя метод графиков или метод интервалов. Приведу оба способа, чтобы ответ был понятен и доступен.

Метод графиков:
1. Давайте начнем с построения графика функции y = x² + 5x - 6. Для этого нам нужно найти вершину параболы и ее направление.

2. Запишем уравнение функции в виде y = (x + 6)(x - 1). Теперь мы видим, что вершина параболы будет находиться в точке (-6, 0) и она будет направлена вверх, так как коэффициент при x² равен единице.

3. Построим график функции на координатной плоскости. Учитывая данные из предыдущего шага, мы увидим, что парабола открывается вверх и пересекает ось x в точках -6 и 1.

4. Теперь обратимся к самому неравенству x² + 5x - 6 ⩽ 0. Чтобы найти целочисленные решения, нам нужно определить индексы отрезков, на которых неравенство принимает значение меньше или равное нулю.

5. Разделим ось x на три отрезка: (-∞, -6], [-6, 1], [1, +∞).

6. Далее, будем анализировать каждый из полученных отрезков и определять, когда неравенство принимает значение меньше или равное нулю.

a) Для отрезка (-∞, -6], выберем любую точку, например, x = -7, и подставим ее в неравенство: (-7)² + 5(-7) - 6 = 49 - 35 - 6 = 8. Таким образом, неравенство не выполняется на этом отрезке.

b) Проделаем тот же шаг для отрезка [-6, 1]. Выберем точку, лежащую внутри этого отрезка, например, x = 0, и подставим ее в неравенство: 0² + 5(0) - 6 = -6. Неравенство выполняется на этом отрезке.

c) Наконец, рассмотрим отрезок [1, +∞]. Выберем точку, лежащую вне этого отрезка, например, x = 2, и подставим ее в неравенство: 2² + 5(2) - 6 = 8 + 10 - 6 = 12. Таким образом, неравенство не выполняется на этом отрезке.

7. Ответом на задачу являются значения x, для которых неравенство x² + 5x - 6 ⩽ 0 выполняется. Так как неравенство выполняется на отрезке [-6, 1], то целые значения x, удовлетворяющие этому условию, являются искомыми решениями.

8. Итак, целочисленные решения неравенства x² + 5x - 6 ⩽ 0 - это все целые значения x, такие что -6 ⩽ x ⩽ 1.