Сколько берез и стрекоз было сначала?

Давайте посмотрим на эту задачу и решим ее шаг за шагом.

Предположим, что количество берез обозначается буквой \(x\), а количество стрекоз - буквой \(y\).

Согласно условию задачи, нам неизвестно, сколько берез и стрекоз было сначала (т.е. до какого-то момента в прошлом). Однако, у нас есть некоторая информация о количестве берез и стрекоз, которые присутствуют сейчас.

Пусть в настоящий момент времени у нас осталось \(2\) березы и \(5\) стрекоз.

На основе этой информации, мы можем записать следующее уравнение:

\[2x = 5y\]

Это уравнение описывает наше условие, которое гласит, что кратность количества берез должна быть равна кратности количества стрекоз.

Теперь нам нужно составить еще одно уравнение, чтобы определить значения переменных.

Давайте предположим, что изначально у нас было еще \(k\) берез и \(m\) стрекоз. В этом случае, мы можем записать следующее:

\[k + m = x + y\]

Так как количество берез и стрекоз сейчас равно \(2\) и \(5\) соответственно, мы можем переписать это уравнение следующим образом:

\[k + m = 2 + 5\]

Теперь у нас есть система из двух линейных уравнений:

\[\begin{cases} 2x = 5y \\ k + m = 7 \end{cases}\]

Теперь мы можем решить эту систему уравнений.

Возможно, вам известны различные методы решения систем линейных уравнений, например, метод подстановки, метод сложения или метод определителей. Давайте воспользуемся методом подстановки.

Из уравнения \(2x = 5y\) можем выразить \(x\) через \(y\):

\[x = \frac{5y}{2}\]

Подставим это значение \(x\) во второе уравнение:

\[\frac{5y}{2} + m = 7\]

Умножим обе части уравнения на \(2\), чтобы избавиться от дроби:

\[5y + 2m = 14\]

Теперь у нас есть следующая система уравнений:

\[\begin{cases} 5y + 2m = 14 \\ k + m = 7 \end{cases}\]

Теперь будем решать эту систему методом определителей.

Найдем определитель основной матрицы коэффициентов системы:

\[\begin{vmatrix} 5 & 2 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} = (5 \cdot 1) - (2 \cdot 1) = 5 - 2 = 3\]

Определитель не равен нулю, поэтому система имеет единственное решение.

Теперь найдем определители матрицы коэффициентов, в которых столбцы заменены на столбцы свободных членов.

Определитель для первого столбца:

\[\begin{vmatrix} 14 & 2 \\ 7 & 1 \end{vmatrix} = (14 \cdot 1) - (2 \cdot 7) = 14 - 14 = 0\]

Определитель для второго столбца:

\[\begin{vmatrix} 5 & 14 \\ 1 & 7 \end{vmatrix} = (5 \cdot 7) - (14 \cdot 1) = 35 - 14 = 21\]

Теперь мы можем найти значения переменных \(y\) и \(m\):

\[y = \frac{\text{определитель для первого столбца}}{\text{определитель основной матрицы}} = \frac{0}{3} = 0\]

\[m = \frac{\text{определитель для второго столбца}}{\text{определитель основной матрицы}} = \frac{21}{3} = 7\]

Теперь мы знаем, что \(y = 0\) и \(m = 7\).

Подставим найденные значения во второе уравнение системы:

\[k + 7 = 7\]

Отсюда получаем, что \(k = 0\).

Значит, изначально у нас было \(0\) берез и \(7\) стрекоз.

Ответ на задачу: сначала не было ни одной березы, и было \(7\) стрекоз.