Сколькими способами можно распределить 4 различные премии между 9 сотрудниками? Какую формулу следует использовать?

Чтобы решить данную задачу, мы можем использовать комбинаторику и, конкретнее, теорию сочетаний. Для перечисления всех способов распределения премий, нам нужно определить количество сочетаний из 4 по 9. Формула, которую следует использовать в данной задаче, называется формулой сочетаний без повторений и записывается следующим образом:

\[C(n, r) = \frac{{n!}}{{r! \cdot (n-r)!}}\]

где \(n\) - количество объектов (в данном случае - количество сотрудников), а \(r\) - требуемое количество выбранных объектов (в данном случае - количество премий).

Применяя эту формулу к нашей задаче, получаем:

\[C(9, 4) = \frac{{9!}}{{4! \cdot (9-4)!}}\]

Теперь, давайте посчитаем значение этого выражения:

\[C(9, 4) = \frac{{9!}}{{4! \cdot 5!}}\]

Факториал число обозначает произведение всех положительных целых чисел от 1 до этого числа. Давайте вычислим значение факториала для каждого числа:

\[9! = 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1\]

\[4! = 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1\]

\[5! = 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1\]

Подставим значения в формулу:

\[C(9, 4) = \frac{{9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}}{{(4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1) \cdot (5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1)}}\]

Избавимся от повторяющихся множителей:

\[C(9, 4) = \frac{{9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6}}{{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}}\]

Мы можем упростить эту дробь, вычислив числитель и знаменатель:

\[C(9, 4) = \frac{{3024}}{{24}}\]

Делим числитель на знаменатель:

\[C(9, 4) = 126\]

Таким образом, существует 126 способов распределить 4 различные премии между 9 сотрудниками.