Скільки спринтерів можна розставити на етапи естафети, якщо з 15 спортсменів обирають 4 учасники?

Чтобы решить данную задачу, нам необходимо использовать комбинаторику и формулу сочетаний. Если у нас есть \(n\) элементов, и мы выбираем \(k\) элементов из них, то число сочетаний обозначается как \(C(n, k)\) и вычисляется по формуле:

\[C(n, k) = \frac{{n!}}{{k! \cdot (n-k)!}}\]

Где символ "!" обозначает факториал. Факториал числа \(n\) обозначается как \(n!\) и равен произведению всех целых чисел от 1 до \(n\).

В нашей задаче у нас имеется 15 спортсменов, из которых нужно выбрать 4 для участия в эстафете. То есть, \(n = 15\) и \(k = 4\).

Подставим значения в формулу и выполним вычисления:

\[C(15, 4) = \frac{{15!}}{{4! \cdot (15-4)!}}\]

\[C(15, 4) = \frac{{15!}}{{4! \cdot 11!}}\]

Теперь посчитаем значения факториалов:

\(4! = 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 24\)

\(11! = 11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1\)

\[C(15, 4) = \frac{{15!}}{{4! \cdot 11!}} = \frac{{15!}}{{24 \cdot 11!}}\]

Далее, мы можем заметить, что множитель \(11!\) в числителе и знаменателе сокращается, оставляя только множитель 15 в числителе:

\[C(15, 4) = \frac{{15!}}{{24 \cdot 11!}} = \frac{{15}}{{24}}\]

Таким образом, количество спринтеров, которых можно расставить на этапы эстафеты при выборе 4 участников из 15, равно \(\frac{{15}}{{24}} = 0.625\) спринтеров.

Однако, поскольку мы не можем расставить дробное количество спринтеров на эстафету, округлим эту дробь до ближайшего целого числа и получим ответ: 1 спринтера.