Семь карандашей и пять ручек были помещены в коробку. Трое предметов были случайно выбраны. Каковы вероятности

Давайте решим эту задачу пошагово!

Итак, у нас есть 7 карандашей и 5 ручек, которые были помещены в коробку. Нам нужно найти вероятности того, что извлекнутые предметы будут либо только карандаши, либо только ручки.

а) Вероятность того, что все три извлеченных предмета будут карандашами:

Сначала рассмотрим общее количество способов выбрать 3 предмета из 12 (всего предметов в коробке). Это можно рассчитать с помощью формулы сочетаний:

\[
C(n, k) = \frac{{n!}}{{k!(n-k)!}}
\]

где \(C(n, k)\) - число сочетаний из n по k.

В нашем случае, n = 12 (общее количество предметов в коробке) и k = 3 (количество извлекаемых предметов).

Таким образом, количество способов выбрать 3 предмета из 12 равно:

\[
C(12, 3) = \frac{{12!}}{{3!(12-3)!}} = \frac{{12!}}{{3! \cdot 9!}} = \frac{{12 \cdot 11 \cdot 10}}{{3 \cdot 2 \cdot 1}} = 220
\]

Теперь посмотрим на сколько способов выбрать только карандаши. У нас есть 7 карандашей и мы должны выбрать 3 из них. Это можно рассчитать также, используя формулу сочетаний:

\[
C(7, 3) = \frac{{7!}}{{3!(7-3)!}} = \frac{{7!}}{{3! \cdot 4!}} = \frac{{7 \cdot 6 \cdot 5}}{{3 \cdot 2 \cdot 1}} = 35
\]

Таким образом, количество способов выбрать все три карандаша равно 35.

Теперь мы можем найти вероятность того, что все три извлеченных предмета будут карандашами:

\[
P(\text{три карандаша}) = \frac{{\text{количество способов выбрать три карандаша}}}{{\text{общее количество способов выбрать три предмета}}} = \frac{{35}}{{220}} \approx 0.1591
\]

Таким образом, вероятность того, что все три извлеченных предмета будут карандашами, составляет около 0.1591 или примерно 15.91%.

б) Вероятность того, что все три извлеченных предмета будут ручками:

Аналогично предыдущему случаю, мы должны найти количество способов выбрать 3 ручки из 12 предметов.

\[
C(5, 3) = \frac{{5!}}{{3!(5-3)!}} = \frac{{5!}}{{3! \cdot 2!}} = \frac{{5 \cdot 4 \cdot 3}}{{3 \cdot 2 \cdot 1}} = 10
\]

Таким образом, количество способов выбрать все три ручки равно 10.

Вероятность того, что все три извлеченных предмета будут ручками:

\[
P(\text{три ручки}) = \frac{{\text{количество способов выбрать три ручки}}}{{\text{общее количество способов выбрать три предмета}}} = \frac{{10}}{{220}} \approx 0.0455
\]

Таким образом, вероятность того, что все три извлеченных предмета будут ручками, составляет около 0.0455 или примерно 4.55%.

Надеюсь, это решение помогло вам! Если у вас возникнут еще вопросы, пожалуйста, не стесняйтесь задавать.