С.р по теме Определение первообразной

Хорошо, я с удовольствием помогу вам с задачей на определение первообразной. Для начала, давайте разберемся, что такое первообразная функция.

Первообразная функция - это функция, производная которой равна исходной функции. Например, если у нас есть функция \(f(x)\), и мы можем найти функцию \(F(x)\), производная которой равна \(f(x)\), то \(F(x)\) является первообразной для функции \(f(x)\).

Теперь, когда мы разобрались с определением, давайте перейдем к решению вашей задачи. Предположим, что у нас есть функция \(f(x)\), для которой мы хотим найти первообразную.

Шаг 1: Выражаем функцию \(f(x)\) в явном виде, если это возможно.

Шаг 2: Ищем первообразную функцию \(F(x)\), используя методы интегрирования. Здесь мы можем использовать знания о различных правилах интегрирования, таких как правило суммы, правило произведения на константу, правило замены переменной и т.д.

Шаг 3: Проверяем наше решение, взяв производную от функции \(F(x)\) и убедившись, что она действительно равна исходной функции \(f(x)\).

Вот пример решения задачи на определение первообразной для функции \(f(x) = 2x\):

Шаг 1: Функция \(f(x) = 2x\) уже выражена в явном виде.

Шаг 2: Для нахождения первообразной функции \(F(x)\) для функции \(f(x) = 2x\), мы можем использовать правило произведения на константу. Согласно этому правилу, интеграл от функции \(k \cdot g(x)\) равен \(k \cdot G(x)\), где \(G(x)\) - первообразная функции \(g(x)\), а \(k\) - произвольная константа.

Применяя это правило, получаем:

\[\int 2x dx = 2 \int x dx\]

Таким образом, наше решение имеет вид:

\[F(x) = 2 \cdot \frac{1}{2}x^2 + C\]

где \(C\) - произвольная константа.

Шаг 3: Чтобы проверить наше решение, возьмем производную от функции \(F(x)\):

\[\frac{d}{dx}(2 \cdot \frac{1}{2}x^2 + C) = \frac{d}{dx}(x^2) = 2x\]

Таким образом, производная от функции \(F(x)\) действительно равна исходной функции \(f(x) = 2x\), что означает, что \(F(x)\) является первообразной функцией для \(f(x)\).

Надеюсь, эта пошаговая инструкция помогла вам понять, как определять первообразные функции. Если у вас есть еще вопросы или нужна помощь с другой задачей, пожалуйста, сообщите мне.