Решите следующие задачи: 1. Решите данную систему уравнений: {2x+y=7 {x^2-y=1 2. Известно, что периметр прямоугольника

Хорошо, решим по порядку каждую из задач:

1. Решение системы уравнений:
У нас дана система уравнений:
\[
\begin{{align*}}
2x+y &= 7 \\
x^2-y &= 1 \\
\end{{align*}}
\]

Для решения этой системы уравнений можно использовать метод подстановки или метод исключения. Давайте воспользуемся методом исключения.

Умножим уравнение (1) на 2:
\[
\begin{{align*}}
4x+2y &= 14 \\
\end{{align*}}
\]

Теперь вычтем уравнение (2) из уравнения (3):
\[
\begin{{align*}}
(4x+2y) - (x^2-y) &= 14 - 1 \\
4x+2y-x^2+y &= 13 \\
-x^2+4x+3y &= 13 \\
\end{{align*}}
\]

Теперь решим это квадратное уравнение:
\[
\begin{{align*}}
x^2-4x-3y &= -13 \\
x^2-4x-3y+13 &= 0 \\
\end{{align*}}
\]

Чтобы решить это квадратное уравнение, воспользуемся квадратным трёхчленом:
\[
(x-3)(x-1) - 3y + 13 = 0
\]

Формулы Виета нам показывают, что сумма и произведение корней квадратного уравнения связаны с его коэффициентами. В данном случае сумма корней равна $-(-4) = 4$, а произведение корней равно $-3y + 13$. Зная, что сумма корней равна 4, мы можем записать:
\[
(x_1 - 3) + (x_2 - 1) = 4
\]

Вычитая выражения, получаем:
\[
(x_1 -3) - (x_2 -1) = 4 - 2 = 2
\]

Теперь вспомним уравнение (1) и подставим найденное значение разности корней:
\[
2x + y = 7
\]
\[
x = \frac{{7 - y}}{2}
\]

Теперь, подставив значение x в уравнение (5) и решив его, найдем значение y. Решая уравнение, получаем два корня: \(y_1 = 4\) и \(y_2 = -2\).

Используя найденные значения y, мы можем найти соответствующие значения x, используя формулу \(x = \frac{{7 - y}}{2}\). Для первого корня \(y_1 = 4\), получаем \(x_1 = \frac{7 - 4}{2} = 1.5\), а для второго корня \(y_2 = -2\) получаем \(x_2 = \frac{7 + 2}{2} = 4.5\).

Таким образом, решение системы уравнений состоит из двух пар значений (x, y): (1.5, 4) и (4.5, -2).

2. Найдем значения сторон прямоугольника:
У нас есть информация о периметре и площади прямоугольника:
периметр = 28 м,
площадь = 40 м².

Чтобы найти значения сторон прямоугольника, давайте обозначим длину прямоугольника через L, а ширину - через W.

Известно, что периметр прямоугольника равен удвоенной сумме его сторон:
\[
2L + 2W = 28
\]

Мы также знаем, что площадь прямоугольника равна произведению его сторон:
\[
L \cdot W = 40
\]

Мы получили систему из двух уравнений с двумя неизвестными L и W.

Для начала, разрешим уравнение (8) относительно L:
\[
L = \frac{40}{W}
\]

Теперь, подставив L в уравнение (7), получаем:
\[
2\left(\frac{40}{W}\right) + 2W = 28
\]

Раскроем скобку и упростим уравнение:
\[
\frac{80}{W} + 2W = 28
\]

Умножим уравнение на \(W\) чтобы избавиться от знаменателя:
\[
80 + 2W^2 = 28W
\]

Перенесем все члены в одну сторону и приведем квадратное уравнение к стандартному виду:
\[
2W^2 - 28W + 80= 0
\]

Поделим все коэффициенты на 2, чтобы упростить уравнение:
\[
W^2 - 14W + 40 = 0
\]

Решим квадратное уравнение, используя квадратную формулу. В результате получим два значения W: \(W_1 = 4\) и \(W_2 = 10\).

Теперь мы можем найти соответствующие значения L, используя найденные значения W и уравнение (8):
\[
L_1 = \frac{40}{W_1} = \frac{40}{4} = 10
\]
\[
L_2 = \frac{40}{W_2} = \frac{40}{10} = 4
\]

Таким образом, значения сторон прямоугольника равны: длина L = 10 м, ширина W = 4 м.

3. Найдем координаты точек пересечения параболы и прямой:
У нас есть парабола \(y = x^2 + 4\) и прямая \(x + y = 6\).

Чтобы найти точки пересечения, подставим y из параболы в уравнение прямой и решим полученное уравнение относительно x:
\[
x + (x^2 + 4) = 6
\]

Раскроем скобку:
\[
x + x^2 + 4 = 6
\]

Перепишем уравнение в виде квадратного уравнения:
\[
x^2 + x - 2 = 0
\]

Решим квадратное уравнение, используя квадратную формулу. В результате получим два значения x: \(x_1 = 1\) и \(x_2 = -2\).

Теперь подставим найденные значения x в уравнение прямой, чтобы найти соответствующие значения y:
Для \(x_1 = 1\):
\[
y_1 = 6 - x_1 = 6 - 1 = 5
\]

Для \(x_2 = -2\):
\[
y_2 = 6 - x_2 = 6 - (-2) = 8
\]

Таким образом, точка пересечения параболы \(y = x^2 + 4\) и прямой \(x + y = 6\) имеет координаты (1, 5) и (-2, 8).

4. Решим систему уравнений:
У нас дана система уравнений:
\[
\begin{{align*}}
2y - x &= 7 \\
x^2 - xy - y^2 &= 29 \\
\end{{align*}}
\]

Для решения этой системы уравнений можно использовать метод подстановки или метод исключения. Давайте воспользуемся методом подстановки.

Из уравнения (11) выразим \(x\) через \(y\):
\[
x = 2y - 7
\]

Подставим это значение \(x\) в уравнение (12):
\[
(2y - 7)^2 - (2y - 7)y - y^2 = 29
\]

Раскроем скобки и упростим:
\[
4y^2 - 28y + 49 - 2y^2 + 14y - 7y - y^2 = 29
\]

Сгруппируем одинаковые члены:
\[
y^2 - 21y + 20 = 0
\]

Мы получили квадратное уравнение, которое можно решить с помощью квадратной формулы. В результате получим два значения \(y\): \(y_1 = 1\) и \(y_2 = 20\).

Теперь подставим найденные значения \(y\) обратно в уравнение (11), чтобы найти соответствующие значения \(x\):
Для \(y_1 = 1\):
\[
x_1 = 2y_1 - 7 = 2 - 7 = -5
\]

Для \(y_2 = 20\):
\[
x_2 = 2y_2 - 7 = 40 - 7 = 33
\]

Таким образом, решение системы уравнений состоит из двух пар значений (x, y): (-5, 1) и (33, 20).

Надеюсь, мои объяснения были понятны и помогли вам решить задачи! Если у вас есть еще вопросы, не стесняйтесь задавать.