Решите систему уравнений x^4 - y^4 = 175 и x^2

Question

Алгебра: Решите систему уравнений x^4 - y^4 = 175 и x^2 - y^2

Полярная · Accepted Answer

Давайте вместе решим данную систему уравнений.

Дано:

x^{4} - y^{4} = 175 (1)

x^{2} - y^{2} = 5 (2)

Для начала решим уравнение (2). Мы можем заметить, что оно является разностью квадратов. Мы можем его факторизовать следующим образом:

x^{2} - y^{2} = (x + y) (x - y) = 5

Теперь вернемся к уравнению (1) и заменим

x^{4}

на

(x^{2})^{2}

, а

y^{4}

на

(y^{2})^{2}

, чтобы привести его к более простому виду:

(x^{2})^{2} - (y^{2})^{2} = 175

Теперь мы можем использовать факторизацию разности квадратов. Получим:

(x^{2} + y^{2}) (x^{2} - y^{2}) = 175

Подставляем полученное уравнение (2) в это уравнение:

(x^{2} + y^{2}) \cdot 5 = 175

x^{2} + y^{2} = 35

Теперь у нас есть система из двух уравнений:

x^{2} + y^{2} = 35 (3)

x^{2} - y^{2} = 5 (4)

Теперь сложим уравнения (3) и (4):

(x^{2} + y^{2}) + (x^{2} - y^{2}) = 35 + 5

2 x^{2} = 40

x^{2} = 20

x = \pm \sqrt{20} = \pm 2 \sqrt{5}

Теперь найдем значения y, подставив x в уравнение (4):

20 - y^{2} = 5

y^{2} = 15

y = \pm \sqrt{15} = \pm \sqrt{3} \cdot \sqrt{5}

Таким образом, у нас два набора решений:
1.

x = 2 \sqrt{5}

,

y = \sqrt{3} \sqrt{5}

2.

x = - 2 \sqrt{5}

,

y = - \sqrt{3} \sqrt{5}

Мы решили систему уравнений

x^{4} - y^{4} = 175

и

x^{2} - y^{2} = 5

, и получили два набора корней.

Решите систему уравнений x^4 - y^4 = 175 и x^2 - y^2