Решите систему уравнений x^4 - y^4 = 175 и x^2

Question

Алгебра: Решите систему уравнений x^4 - y^4 = 175 и x^2 - y^2

Полярная · Accepted Answer

Давайте вместе решим данную систему уравнений.

Дано:
\[x^4 - y^4 = 175 \quad (1)\]
\[x^2 - y^2 = 5 \quad (2)\]

Для начала решим уравнение (2). Мы можем заметить, что оно является разностью квадратов. Мы можем его факторизовать следующим образом:
\[x^2 - y^2 = (x + y)(x - y) = 5\]

Теперь вернемся к уравнению (1) и заменим \(x^4\) на \((x^2)^2\), а \(y^4\) на \((y^2)^2\), чтобы привести его к более простому виду:
\[(x^2)^2 - (y^2)^2 = 175\]

Теперь мы можем использовать факторизацию разности квадратов. Получим:
\[(x^2 + y^2)(x^2 - y^2) = 175\]

Подставляем полученное уравнение (2) в это уравнение:
\[(x^2 + y^2) \cdot 5 = 175\]
\[x^2 + y^2 = 35\]

Теперь у нас есть система из двух уравнений:
\[x^2 + y^2 = 35 \quad (3)\]
\[x^2 - y^2 = 5 \quad (4)\]

Теперь сложим уравнения (3) и (4):
\[(x^2 + y^2) + (x^2 - y^2) = 35 + 5\]
\[2x^2 = 40\]
\[x^2 = 20\]
\[x = \pm \sqrt{20} = \pm 2\sqrt{5}\]

Теперь найдем значения y, подставив x в уравнение (4):
\[20 - y^2 = 5\]
\[y^2 = 15\]
\[y = \pm \sqrt{15} = \pm \sqrt{3} \cdot \sqrt{5}\]

Таким образом, у нас два набора решений:
1. \(x = 2\sqrt{5}\), \(y = \sqrt{3}\sqrt{5}\)
2. \(x = -2\sqrt{5}\), \(y = -\sqrt{3}\sqrt{5}\)

Мы решили систему уравнений \(x^4 - y^4 = 175\) и \(x^2 - y^2 = 5\), и получили два набора корней.

Решите систему уравнений x^4 - y^4 = 175 и x^2 - y^2

Полярная

О проекте

Предметы

Задать вопрос

Привет!