В прямоугольном треугольнике ABC, где угол B прямой, сторона BC равна 5, а сторона AC равна 10. Биссектриса угла

Для решения данной задачи воспользуемся теоремой о биссектрисе. Согласно этой теореме, биссектриса угла треугольника делит противоположную сторону на отрезки, пропорциональные смежным сторонам треугольника.

Обозначим точку пересечения биссектрисы угла ABC и стороны AC за точку D. Тогда отношение длины отрезков BD и CD будет равно отношению длин сторон AB и AC:

\(\frac{BD}{CD} = \frac{AB}{AC}\)

Угол ABC является прямым углом, поэтому сторона AB является гипотенузой прямоугольного треугольника ABC. Известно, что сторона AC равна 10 и сторона BC равна 5, поэтому по теореме Пифагора можем найти длину стороны AB:

\(AB = \sqrt{AC^2 + BC^2} = \sqrt{10^2 + 5^2} = \sqrt{125} = 5\sqrt{5}\)

Теперь, зная, что сторона AB равна \(5\sqrt{5}\) и сторона AC равна 10, подставим значения в уравнение:

\(\frac{BD}{CD} = \frac{5\sqrt{5}}{10} = \frac{\sqrt{5}}{2}\)

Так как биссектриса угла ACB также пересекает сторону AB, то точка D является серединой этой стороны. То есть, BD равно CD:

\(BD = CD = \frac{\sqrt{5}}{2}\)

Таким образом, мы получили, что отношение длины отрезков BD и CD равно \(\frac{\sqrt{5}}{2}\). Теперь воспользуемся теоремой синусов.

В треугольнике BOC у нас есть стороны BC и BO, а также между ними угол BOC. Мы хотим найти этот угол, поэтому воспользуемся теоремой синусов:

\(\frac{BC}{\sin(\angle BOC)} = \frac{BO}{\sin(\angle BCO)}\)

Так как угол BCO является прямым углом, то его синус равен 1:

\(\sin(\angle BOC) = \frac{BC}{BO}\)

Подставим значения стороны BC, равной 5, и BD, равной \(\frac{\sqrt{5}}{2}\):

\(\sin(\angle BOC) = \frac{5}{\frac{\sqrt{5}}{2}} = \frac{10}{\sqrt{5}} = 2\sqrt{5}\)

Теперь найдем сам угол BOC, взяв арксинус от обеих частей уравнения:

\(\angle BOC = \arcsin(2\sqrt{5})\)

Используя калькулятор, мы можем посчитать значение этого угла. Примерным результатом будет:

\(\angle BOC \approx 79.7^{\circ}\)

Таким образом, мера угла BOC составляет около 79.7 градусов.