Решите неравенство (a-9)²x≤a²-81 для всех значений параметра

Давайте решим данное неравенство поэтапно, чтобы ответ был максимально понятен.

1. Начнем с раскрытия скобок на левой стороне неравенства. Для этого умножим каждый член скобки \((a-9)^2\) на \(x\):

\((a-9)^2x \leq a^2 - 81\)

2. Раскроем скобки \((a-9)^2\) на левой стороне. Это можно сделать двумя способами:

а) Раскрытие скобок с использованием формулы квадрата двухчлена:
\((a-9)^2 = (a-9)(a-9) = a^2 - 18a + 81\)

или

б) Раскрытие скобок поэлементно:
\((a-9)^2 = (a-9)(a-9) = a(a-9) - 9(a-9) = a^2 - 9a - 9a + 81 = a^2 - 18a + 81\)

В обоих случаях получаем:

\(a^2 - 18a + 81x \leq a^2 - 81\)

3. Упростим неравенство, сократив \(a^2\) с обеих сторон:

\(-18a + 81x \leq -81\)

4. Добавим 81 к обеим сторонам неравенства:

\(-18a + 81x + 81 \leq 0\)

5. Далее, упростим эту неравенство:

\(-18a + 81x + 81 \leq 0\)

6. Вынесем общий множитель -9 из первых двух членов:

\(-9(2a - 9x - 9) \leq 0\)

7. Разделим обе стороны неравенства на -9. Важно помнить, что когда мы делим на отрицательное число, знак неравенства меняется:

\(2a - 9x - 9 \geq 0\)

Это итоговое неравенство для всех значений параметра \(a\), при которых исходное неравенство выполняется.

Мы решили данную задачу шаг за шагом, чтобы ответ был максимально понятным школьнику. Если у вас возникнут ещё вопросы, пожалуйста, не стесняйтесь задавать их!