Какова скорость течения реки, если катер, двигаясь против течения, затрачивает на преодоление расстояния в 48 км

Чтобы решить эту задачу, давайте введем следующие обозначения:

Пусть \(V_r\) - скорость течения реки (км/ч) и \(V_k\) - скорость катера (км/ч).

Теперь рассмотрим движение катера в каждом из случаев более подробно.

1. Движение катера против течения:

Расстояние, которое необходимо преодолеть, составляет 48 км. Скорость катера против течения будет равна сумме его собственной скорости и скорости течения, то есть \(V_k + V_r\). Время \(T_1\), затраченное на преодоление этого расстояния, может быть рассчитано с использованием формулы:

\[T_1 = \frac{D}{V_k + V_r}\]

где \(D\) - расстояние (48 км).

2. Движение катера по течению:

Расстояние, которое необходимо преодолеть, равно 56 км. Скорость катера по течению будет равна разности его собственной скорости и скорости течения, то есть \(V_k - V_r\). Время \(T_2\), затраченное на преодоление этого расстояния:

\[T_2 = \frac{D}{V_k - V_r}\]

где \(D\) - расстояние (56 км).

Мы также знаем, что время \(T_1\) на 48 минут больше, чем время \(T_2\).

Теперь у нас есть два уравнения:

\[T_1 = T_2 + \frac{48}{60}\]

\[\frac{D}{V_k + V_r} = \frac{D}{V_k - V_r} + \frac{48}{60}\]

Давайте подставим значение \(D = 48\) и значение \(V_k = 12\) во второе уравнение:

\[\frac{48}{12 + V_r} = \frac{48}{12 - V_r} + \frac{48}{60}\]

Домножим оба выражения на \(60\), чтобы избавиться от дробей:

\[60 \cdot \frac{48}{12 + V_r} = 60 \cdot \frac{48}{12 - V_r} + 48\]

Теперь опустим вспомогательные уравнения и приступим к решению уравнения.

\[60 \cdot \frac{48}{12 + V_r} = 60 \cdot \frac{48}{12 - V_r} + 48\]

\[60 \cdot 48 (12 - V_r) = 60 \cdot 48 (12 + V_r) + 48(12 + V_r)(12 - V_r)\]

Раскроем скобки и упростим выражение:

\[60 \cdot 48 \cdot 12 - 60 \cdot 48 \cdot V_r = 60 \cdot 48 \cdot 12 + 60 \cdot 48 \cdot V_r + 48(12^2 - V_r^2)\]

Отсюда можно выразить \(V_r\):

\[- 60 \cdot 48 \cdot V_r = 60 \cdot 48 \cdot V_r + 48(144 - V_r^2)\]

\[(-1)\cdot 60 \cdot 48 \cdot V_r - 60 \cdot 48 \cdot V_r = 48(144 - V_r^2)\]

\[(60 \cdot 48 \cdot V_r) + (60 \cdot 48 \cdot V_r) = 48(144 - V_r^2)\]

\[120 \cdot 48 \cdot V_r = 48(144 - V_r^2)\]

\[120 \cdot 48 \cdot V_r = 48 \cdot 144 - 48V_r^2\]

\[120 \cdot 48 \cdot V_r + 48V_r^2 = 48 \cdot 144\]

\[5760 \cdot V_r + 48V_r^2 = 6912\]

\[48V_r^2 + 5760V_r - 6912 = 0\]

Теперь мы имеем квадратное уравнение:

\[48V_r^2 + 5760V_r - 6912 = 0\]

Решим его с помощью дискриминанта:

\[D = b^2 - 4ac\]

\[D = 5760^2 - 4 \cdot 48 \cdot (-6912)\]

\[D = 33177600\]

Теперь найдем \(V_r\):

\[V_r = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\]

\[V_r = \frac{-5760 \pm \sqrt{33177600}}{2 \cdot 48}\]

\[V_r = \frac{-5760 \pm 5760}{96}\]

Таким образом, получаем два значения для \(V_r\):

\[V_{r1} = \frac{0}{96} = 0\]

\[V_{r2} = \frac{-11520}{96} = -120\]

Ответ: Скорость течения реки может быть равна или 0 км/ч (если катер стоит на месте), или \(-120\) км/ч (если катер движется в обратном направлении по сравнению с течением реки).