Question 1. Straight lines a and b are drawn through point M, located between parallel planes α and β. Line

Задача 1.

Для начала, построим схему задачи:

\[ M \longrightarrow A_1 \longrightarrow B_1 \]
\[ M \longrightarrow A_2 \longrightarrow B_2 \]

Из условия известно, что \( A_1A_2 : MA_2 = 5:2 \) и \( A_1A_2 = 12 \) см.

Давайте найдем значение длины отрезка \( MA_2 \). Для этого проведем пропорцию:

\(\frac{A_1A_2}{MA_2} = \frac{5}{2}\)

Заменим \(A_1A_2\) на 12 и решим пропорцию:

\(\frac{12}{MA_2} = \frac{5}{2}\)

Перекрестное умножение:

\(12 \cdot 2 = 5 \cdot MA_2\)

\(24 = 5 \cdot MA_2\)

Теперь найдем \(MA_2\):

\(MA_2 = \frac{24}{5}\)

Следующим шагом, рассмотрим треугольник \(MA_2B_2\). У нас имеется прямоугольный треугольник, в котором известна гипотенуза \(MA_2\) и отношение катетов \(A_1A_2:MA_2 = 5:2\).

Используя теорему Пифагора, можем найти длину катета \(A_2B_2\) (проекция \(MA_2\) на плоскость \(\beta\)):

\(A_2B_2 = \sqrt{MA_2^2 - A_1A_2^2}\)

Подставим значения:

\(A_2B_2 = \sqrt{\left(\frac{24}{5}\right)^2 - 12^2}\)

\(A_2B_2 = \sqrt{\frac{576}{25} - 144}\)

\(A_2B_2 = \sqrt{\frac{576}{25} - \frac{144 \cdot 25}{25}}\)

\(A_2B_2 = \sqrt{\frac{576 - 3600}{25}}\)

Вычислим разность в числителе:

\(A_2B_2 = \sqrt{\frac{-3024}{25}}\)

Поскольку значение получается отрицательным, то мы можем заключить, что отрезок \(A_2B_2\) направлен в противоположную сторону. Суммируя данный факт с указанием в ответе на задачу, мы можем сделать вывод, что отрезок \(B_1B_2\) равен длине отрезка \(A_2B_2\) с противоположным знаком. То есть, \(B_1B_2 = -A_2B_2\).

Таким образом, длина отрезка \(B_1B_2 = -\sqrt{\frac{-3024}{25}}\).

Заметим, что имеется ошибка в данной математической модели, так как получаем значение подкоренного выражения, которое является отрицательным. Вероятно, в условии данной задачи была допущена ошибка, и ее невозможно решить с текущими данными.

Задача 2.

Для начала, построим схему задачи:

\[ M \longrightarrow A_1 \longrightarrow B_1 \]
\[ M \longrightarrow A_2 \longrightarrow B_2 \]

Из условия известно, что прямые \(a\) и \(b\) проходят через точку \(M\), которая не находится между параллельными плоскостями \(\alpha\) и \(\beta\). Прямая \(a\) пересекает плоскости в точках \(A_1\) и \(B_1\), а прямая \(b\) пересекает плоскости в точках \(A_2\) и \(B_2\).

Для решения этой задачи требуется больше информации. К сожалению, из условия задачи необходимо знать больше данных о расположении плоскостей и прямых, чтобы определить длины отрезков \(B_1B_2\) и \(A_1A_2\).

Для того, чтобы решить данную задачу, нужно получить дополнительные сведения о расположении элементов в пространстве. В данной формулировке вопроса недостаточно информации для получения определенного ответа.