Пямякокутному треугольнику с гипотенузой 16 см и острым углом 30 градусов вписан прямоугольник, две вершины которого

Для решения данной задачи нам потребуется использовать элементы геометрии и математической аналитики. Давайте рассмотрим ее пошагово:

Шаг 1: Нарисуем пямякокутный треугольник \(ABC\) с гипотенузой \(AB\) равной 16 см, и острым углом \(ACB\) равным 30 градусов. Также построим вписанный прямоугольник \(DEFG\) внутри треугольника \(ABC\). При этом вершины прямоугольника \(D\) и \(E\) будут лежать на катетах, а вершины \(F\) и \(G\) будут лежать на гипотенузе. (см. рисунок ниже)

\[А\]
\[\ /\]
\[\/ \]
\[С B \]
\[/_____\]
\[Э С]
\[Г Д\]
\[Ф\ Г]

Шаг 2: Обозначим стороны прямоугольника следующим образом:

\(AD = x\) (сторона прямоугольника параллельная катету \(AC\))

\(AE = y\) (сторона прямоугольника, параллельная катету \(BC\))

Шаг 3: Чтобы найти максимальную площадь прямоугольника, нам необходимо определить связь между сторонами прямоугольника и выразить площадь через эти переменные.

Шаг 4: Заметим, что треугольник \(ABC\) - пямякокутный, то есть угол \(ACB\) равен 30 градусов. Из этого следует, что угол \(FEC\) тоже является прямым (90 градусов).

Шаг 5: Поскольку \(FEC\) - прямой угол, следовательно, прямоугольник \(DEFG\) является прямоугольником. То есть \(DEF\) - прямоугольный треугольник.

Шаг 6: Заметим, что площадь прямоугольника равна произведению его сторон:

\[Площадь прямоугольника = x \cdot y\]

Шаг 7: Мы можем найти стороны прямоугольника, используя геометрические свойства пямякокутного треугольника \(ABC\) и прямоугольника \(DEFG\).

Шаг 8: Из свойств вписанных прямоугольников в пямякокутные треугольники следует, что площадь прямоугольника достигает максимума, когда он является квадратом вписанным в треугольник. То есть \(x = y\).

Шаг 9: Рассмотрим прямоугольный треугольник \(ABC\) с гипотенузой 16 см и острым углом 30 градусов. Используя теорему Пифагора, мы можем выразить размеры его катетов:

\[AC = 16 \cdot \sin(30°) = 8\text{ см}\]
\[BC = 16 \cdot \cos(30°) = 8\sqrt{3}\text{ см}\]

Шаг 10: Итак, мы нашли, что стороны прямоугольного треугольника \(ABC\) равны \(AC = 8\text{ см}\) и \(BC = 8\sqrt{3}\text{ см}\).

Шаг 11: Для того чтобы прямоугольник \(DEFG\) был наибольшей площади достаточно сделать его стороны \(x\) и \(y\) равными.

Итак, ответ: Стороны прямоугольника должны быть равны \(x = y = 8\text{ см}\).

Мы использовали геометрию и математическую аналитику, чтобы показать, какими должны быть стороны прямоугольника, чтобы его площадь была наибольшей. Надеюсь, что данное объяснение позволило вам лучше понять постановку задачи и ее решение.