Пусть х=(x1,x2,x3). Могут ли следующие преобразования рассматриваться как линейные?

Да, конечно! При рассмотрении преобразований как линейных, мы ожидаем, что они будут обладать определенными свойствами. Чтобы проверить, могут ли данные преобразования быть линейными, рассмотрим каждое из них по отдельности.

1) Умножение на скаляр:
Преобразование, при котором каждая компонента вектора \(х\) умножается на некоторое число \(а\), является линейным преобразованием. Почему? Посмотрим на пример: пусть \(х=(x_1,x_2,x_3)\), и мы умножим его на скаляр \(a\). Получим новый вектор \(y=(a \cdot x_1, a \cdot x_2, a \cdot x_3)\). Если мы умножим \(y\) на скаляр \(b\), то получим вектор \(z=(b \cdot (a \cdot x_1), b \cdot (a \cdot x_2), b \cdot (a \cdot x_3))\). Заметим, что \(z\) равен \(ab \cdot (x_1, x_2, x_3)\), что эквивалентно умножению вектора \(х\) на скаляр \(ab\). Таким образом, свойство умножения на скаляр сохраняется, и данное преобразование является линейным.

2) Покомпонентное сложение:
Преобразование, при котором компоненты вектора \(х\) складываются по отдельности, также является линейным. Почему? Рассмотрим два вектора \(х=(x_1,x_2,x_3)\) и \(у=(y_1,y_2,y_3)\). Если мы сложим их, то получим новый вектор \(z=(x_1+y_1, x_2+y_2, x_3+y_3)\). Если мы возьмем другие два вектора \(\alpha=(a_1,a_2,a_3)\) и \(\beta=(b_1,b_2,b_3)\) и сложим их, то получим вектор \(\gamma=(a_1+b_1, a_2+b_2, a_3+b_3)\). Заметим, что \(\gamma\) также является результатом сложения компонентов векторов \(\alpha\) и \(\beta\). Таким образом, данное преобразование удовлетворяет свойству покомпонентного сложения и является линейным.

Таким образом, оба преобразования - умножение на скаляр и покомпонентное сложение, рассматриваемые как отдельные операции с вектором \(х=(x_1,x_2,x_3)\), могут быть рассматриваемыми как линейные преобразования.