Проведите исследование функции y=2x^3+x^2-8x-7 и постройте её график. Будете ли вы в состоянии решить задачу

Конечно! Я помогу вам провести исследование функции \(y=2x^3+x^2-8x-7\) и построить её график поэтапно.

1. Начнем с анализа поведения функции при увеличении и уменьшении значения \(x\). Для этого найдем производную \(y"\) функции, которая поможет нам определить, когда функция возрастает или убывает.

Для нахождения производной функции \(y\), возьмем производные от каждого члена по отдельности:
\[y" = \frac{d(2x^3)}{dx} + \frac{d(x^2)}{dx} - \frac{d(8x)}{dx} - \frac{d(7)}{dx}\]

Вычислим производные:
\[y" = 6x^2 + 2x - 8\]

2. Теперь найдем точки, в которых \(y"\) равна нулю. Это позволит нам найти экстремумы функции и точки перегиба.

Найдем значения \(x\), при которых \(y" = 0\):
\[6x^2 + 2x - 8 = 0\]

Мы можем решить это квадратное уравнение, используя квадратное уравнение:
\[x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\]

Вместо \(a\), \(b\) и \(c\) подставим значения:
\[x = \frac{-2 \pm \sqrt{2^2 - 4(6)(-8)}}{2(6)}\]

Вычислим значения и получим два корня: \(x_1 \approx -2.11\) и \(x_2 \approx 0.94\).

3. Теперь определим знаки \(y"\) на интервалах между и за пределами найденных корней. Для этого выберем значения \(x\) в каждом из интервалов и подставим их в \(y"\). Если \(y"\) положительная, значит функция возрастает, если отрицательная - убывает.

Возьмем несколько значений \(x\) в каждом интервале:
- Для \(x < -2.11\), возьмем \(x = -3\) и подставим в \(y"\): \(y" = 6(-3)^2 + 2(-3) - 8 = 50\), положительное значение, то есть функция возрастает.
- Для \(-2.11 < x < 0.94\), возьмем \(x = 0\) и подставим в \(y"\): \(y" = 6(0)^2 + 2(0) - 8 = -8\), отрицательное значение, функция убывает.
- Для \(x > 0.94\), возьмем \(x = 2\) и подставим в \(y"\): \(y" = 6(2)^2 + 2(2) - 8 = 20\), положительное значение, функция возрастает.

4. Определим наличие экстремумов и точек перегиба. Для этого используем вторую производную.

Найдем вторую производную \(y""\) функции:
\(y"" = \frac{d^2(6x^2 + 2x - 8)}{dx^2}\)
\(y"" = 12x + 2\)

5. Определим точки, в которых \(y""\) равна нулю. Подставим \(y"" = 0\) и найдем значение \(x\):
\(12x + 2 = 0\)
\(x = -\frac{1}{6}\)

6. Теперь определим знак \(y""\) на интервалах, чтобы найти точки перегиба. Подставим значения \(x\) в каждом интервале:
- Для \(x < -\frac{1}{6}\), возьмем \(x = -1\) и подставим в \(y""\): \(y"" = 12(-1) + 2 = -10\), отрицательное значение, значит, есть точка перегиба.
- Для \(x > -\frac{1}{6}\), возьмем \(x = 1\) и подставим в \(y""\): \(y"" = 12(1) + 2 = 14\), положительное значение, есть точка перегиба.

7. Теперь найдем значения функции \(y\) для разных \(x\) и построим график функции \(y=2x^3+x^2-8x-7\).

Выберем несколько значений \(x\) и найдем соответствующие значения \(y\):
- Для \(x = -3\): \(y = 2(-3)^3 + (-3)^2 - 8(-3) - 7 = -50\)
- Для \(x = -2\): \(y = 2(-2)^3 + (-2)^2 - 8(-2) - 7 = -19\)
- Для \(x = -1\): \(y = 2(-1)^3 + (-1)^2 - 8(-1) - 7 = -6\)
- Для \(x = 0\): \(y = 2(0)^3 + (0)^2 - 8(0) - 7 = -7\)
- Для \(x = 1\): \(y = 2(1)^3 + (1)^2 - 8(1) - 7 = -12\)
- Для \(x = 2\): \(y = 2(2)^3 + (2)^2 - 8(2) - 7 = -9\)
- Для \(x = 3\): \(y = 2(3)^3 + (3)^2 - 8(3) - 7 = 8\)

Теперь мы можем построить график функции \(y=2x^3+x^2-8x-7\), используя полученные значения. График будет выглядеть следующим образом:

\[Картинка графика\]

Я надеюсь, что это решение помогло вам провести исследование функции и построить её график.