Продовжено речення. Через точку N, розташовану поза площиною шестикутника ABCDEF, проведена пряма AN, перпендикулярна

до AE.

Для доказательства данных утверждений воспользуемся свойствами параллельных и перпендикулярных прямых.

1) Доказательство перпендикулярности AN и AC:
Из условия задачи известно, что прямая AN перпендикулярна к прямым AB и AF. Так как прямые AB и AF лежат в плоскости шестикутника ABCDEF, то прямая AN также лежит в этой плоскости.
Рассмотрим треугольник ANC. В этом треугольнике угол ANC - прямой (90 градусов), так как AN перпендикулярна к прямой AC (согласно условию задачи). Также, угол ANC лежит в плоскости шестикутника ABCDEF.
Из данных следует, что грань шестикутника ABCDEF, содержащая отрезок AC, является плоскостью перпендикулярной плоскости треугольника ANC. Отсюда следует, что прямые AN и AC перпендикулярны (доказано).

2) Доказательство перпендикулярности AN и AD:
При доказательстве этой части задачи воспользуемся тем фактом, что всякая плоскость, перпендикулярная к одной из двух параллельных прямых, также перпендикулярна ко второй прямой из этой пары.
Из условия задачи известно, что прямая AN перпендикулярна к прямым AB и AF. Следовательно, прямая AN перпендикулярна к плоскости, содержащей отрезки AB и AF. Прямая AD также лежит в этой плоскости, так как она является прямой треугольника ABD, лежащего в плоскости шестикутника ABCDEF.
Из свойства, о котором упоминалось выше, следует, что прямые AN и AD перпендикулярны (доказано).

3) Доказательство перпендикулярности AN и AE:
Аналогично предыдущей части задачи, воспользуемся фактом, что перпендикулярная к одной из двух параллельных прямых плоскость также перпендикулярна к другой прямой из этой пары.
По условию задачи прямая AN перпендикулярна к прямым AB и AF, а прямые AB и AF параллельны друг другу (так как они лежат на плоскости шестикутника ABCDEF). Следовательно, AN перпендикулярна плоскости, содержащей отрезки AB и AF.
Прямая AE также лежит на этой плоскости, так как она является прямой треугольника AEF, лежащего в плоскости шестикутника ABCDEF.
Из вышеуказанного свойства следует, что прямые AN и AE перпендикулярны.

Таким образом, доказано, что прямая AN является перпендикулярной к прямым AC, AD и AE.