Приведите доказательство равенства 2 cos^2 (60 - 3a) - корень 3/2 sin (6a) - sin^2(3a)=1/2

Хорошо, давайте найдем доказательство данного равенства шаг за шагом.

Исходное уравнение:
\[2\cos^2(60 - 3a) - \frac{\sqrt{3}}{2}\sin(6a) - \sin^2(3a) = \frac{1}{2}\]

1. Распишем выражение \(\cos^2(60 - 3a)\) при помощи формулы двойного угла:
\[\cos^2(60 - 3a) = \frac{1}{2}(1 + \cos(2(60 - 3a)))\]

Теперь уравнение выглядит следующим образом:
\[2\left(\frac{1}{2}(1 + \cos(2(60 - 3a)))\right) - \frac{\sqrt{3}}{2}\sin(6a) - \sin^2(3a) = \frac{1}{2}\]

2. Распишем \(\sin(6a)\) при помощи формулы двойного угла:
\[\sin(6a) = 2\sin(3a)\cos(3a)\]

Теперь уравнение принимает вид:
\[2\left(\frac{1}{2}(1 + \cos(2(60 - 3a)))\right) - \frac{\sqrt{3}}{2}\cdot 2\sin(3a)\cos(3a) - \sin^2(3a) = \frac{1}{2}\]

3. Раскроем скобки и сгруппируем подобные слагаемые:
\[\frac{1}{2} + \cos(2(60 - 3a)) - \sqrt{3}\sin(3a)\cos(3a) - \sin^2(3a) = \frac{1}{2}\]

4. Перепишем \(\cos(2(60 - 3a))\) при помощи формулы двойного угла:
\[\cos(2(60 - 3a)) = \cos^2(60 - 3a) - \sin^2(60 - 3a)\]

Уравнение становится следующим:
\[\frac{1}{2} + \cos^2(60 - 3a) - \sin^2(60 - 3a) - \sqrt{3}\sin(3a)\cos(3a) - \sin^2(3a) = \frac{1}{2}\]

5. Вспомним тригонометрическую формулу \(\sin^2(x) + \cos^2(x) = 1\) и заменим в уравнении \(\cos^2(60 - 3a)\) и \(\sin^2(60 - 3a)\) соответственно:
\[\frac{1}{2} + 1 - 1 - \sqrt{3}\sin(3a)\cos(3a) - \sin^2(3a) = \frac{1}{2}\]

6. Упростим выражение:
\[-\sqrt{3}\sin(3a)\cos(3a) - \sin^2(3a) = 0\]

7. Перепишем уравнение справа налево:
\[\sin^2(3a) + \sqrt{3}\sin(3a)\cos(3a) = 0\]

8. Выносим общий множитель из первых двух слагаемых:
\[\sin(3a)(\sin(3a) + \sqrt{3}\cos(3a)) = 0\]

9. Исследуем каждый из множителей отдельно:
a) \(\sin(3a) = 0 \Rightarrow 3a = k\pi, где k - целое число\)
b) \(\sin(3a) + \sqrt{3}\cos(3a) = 0\)

10. Преобразуем второе уравнение:
\(\sin(3a) + \sqrt{3}\cos(3a) = 0 \Rightarrow \tan(3a) = -\sqrt{3}\)

11. Найдем все решения этого уравнения. Поскольку \(\tan(x)\) периодична с периодом \(\pi\), то будем искать её значения в интервале \(0 \leq x < 2\pi\)

Решением такого уравнения будет: \[3a = \frac{5\pi}{6} + n\pi, \frac{11\pi}{6} + n\pi, где n - целое число\]

Теперь у нас есть два возможных случая:

12. Рассмотрим случай \(\sin(3a) = 0\):

Подставим \(\sin(3a) = 0\) в исходное уравнение и убедимся, что оно верно.

13. Рассмотрим случай \(\tan(3a) = -\sqrt{3}\):

Подставим значения \(3a = \frac{5\pi}{6} + n\pi, \frac{11\pi}{6} + n\pi\) в исходное уравнение и убедимся, что оно верно.

Таким образом, мы получили все решения исходного уравнения и доказали равенство.