При якому значенні m вирази 3m-1, m^2+1 і m+3 будуть утворювати послідовні члени арифметичної послідовності? Будь

Щоб вирази \(3m-1\), \(m^2+1\) і \(m+3\) були послідовними членами арифметичної послідовності, різниця між будь-якими двома послідовними членами повинна бути постійною. Отже, ми можемо скласти рівняння для різниці між цими виразами. Нехай \(d\) - ця різниця.

Різниця між другим і першим членом:
\((m^2+1) - (3m-1) = d\)

Розкривши дужки:
\(m^2 + 1 - 3m + 1 = d\)

Спрощуючи:
\(m^2 - 3m + 2 = d\)

Різниця між третім і другим членом:
\((m+3) - (m^2+1) = d\)

Розкривши дужки:
\(m + 3 - m^2 - 1 = d\)

Спрощуючи:
\(-m^2 + m + 2 = d\)

Отже, ми маємо систему з двох рівнянь:

\[
\begin{align*}
m^2 - 3m + 2 &= d \\
-m^2 + m + 2 &= d \\
\end{align*}
\]

Для того, щоб знайти значення \(m\), яке задовольняє цю систему рівнянь, ми можемо вирішити її. Спробуємо використати метод елімінації:

(1) + (2):

\((m^2 - 3m + 2) + (-m^2 + m + 2) = 2d + 2d\)

Розкривши дужки і спрощуючи:

\(-2m^2 - 2m + 4 = 4d\)

Поділимо на 2:

\(-m^2 - m + 2 = 2d\)

Тепер ми маємо простіше рівняння:

\(m^2 + m - (2 + 2d) = 0\)

Ми можемо вирішити це квадратне рівняння за допомогою квадратного кореня:

\[m = \frac{{-1 \pm \sqrt{1 + 4(2 + 2d)}}}{2}\]

Отже, щоб знайти значення \(m\), яке робить вирази \(3m-1\), \(m^2+1\) і \(m+3\) послідовними членами арифметичної послідовності, ми повинні знайти значення \(m\), яке задовольняє рівняння:

\[m = \frac{{-1 \pm \sqrt{1 + 4(2 + 2d)}}}{2}\]

Де \(d\) - різниця між послідовними членами арифметичної послідовності.