При помощи векторных методов определите косинус угла между диагоналями параллелограмма, где длины двух сторон равны

Для решения данной задачи воспользуемся векторным представлением диагоналей параллелограмма.

Обозначим векторы \(\mathbf{a}\) и \(\mathbf{b}\) как стороны параллелограмма. Тогда диагонали параллелограмма можно представить в виде суммы этих векторов: \(\mathbf{d_1} = \mathbf{a} + \mathbf{b}\) и \(\mathbf{d_2} = \mathbf{a} - \mathbf{b}\).

Длины сторон прямоугольника равны 2 и \(\sqrt{3}\), что можно записать в виде \(\|\mathbf{a}\| = 2\) и \(\|\mathbf{b}\| = \sqrt{3}\).

Также задан угол между диагоналями параллелограмма — 135°.

Теперь, чтобы определить косинус угла между диагоналями, воспользуемся теоремой косинусов:

\[\cos(\theta) = \frac{\mathbf{d_1} \cdot \mathbf{d_2}}{\|\mathbf{d_1}\| \|\mathbf{d_2}\|}\]

Сначала найдем значения \(\mathbf{d_1}\) и \(\mathbf{d_2}\):

\(\mathbf{d_1} = \mathbf{a} + \mathbf{b} = \begin{bmatrix} a_1 \\ a_2 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} b_1 \\ b_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a_1 + b_1 \\ a_2 + b_2 \end{bmatrix}\)

\(\mathbf{d_2} = \mathbf{a} - \mathbf{b} = \begin{bmatrix} a_1 \\ a_2 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} b_1 \\ b_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a_1 - b_1 \\ a_2 - b_2 \end{bmatrix}\)

Теперь подставим значения в формулу для косинуса:

\(\cos(\theta) = \frac{\mathbf{d_1} \cdot \mathbf{d_2}}{\|\mathbf{d_1}\| \|\mathbf{d_2}\|} = \frac{(\mathbf{a} + \mathbf{b}) \cdot (\mathbf{a} - \mathbf{b})}{\|\mathbf{a} + \mathbf{b}\| \|\mathbf{a} - \mathbf{b}\|}\)

\(\cos(\theta) = \frac{(\begin{bmatrix} a_1 + b_1 \\ a_2 + b_2 \end{bmatrix}) \cdot (\begin{bmatrix} a_1 - b_1 \\ a_2 - b_2 \end{bmatrix})}{\sqrt{(a_1 + b_1)^2 + (a_2 + b_2)^2} \sqrt{(a_1 - b_1)^2 + (a_2 - b_2)^2}}\)

\(\cos(\theta) = \frac{(a_1 + b_1)(a_1 - b_1) + (a_2 + b_2)(a_2 - b_2)}{\sqrt{(a_1 + b_1)^2 + (a_2 + b_2)^2} \sqrt{(a_1 - b_1)^2 + (a_2 - b_2)^2}}\)

Подставив значения длин сторон прямоугольника и решив уравнение, получим значение косинуса угла между диагоналями параллелограмма.