Найдите длину катетов прямоугольного треугольника, если известно, что гипотенуза равна 51 см, а тангенс одного из углов

Для решения данной задачи нам понадобится использовать соотношения между сторонами прямоугольного треугольника и его углами.

Пусть катеты треугольника равны \(x\) и \(y\) соответственно.

Известно, что гипотенуза равна 51 см, поэтому мы можем записать соотношение:

\[x^2 + y^2 = 51^2\]

Также дано, что тангенс одного из углов составляет 8/15. Тангенс угла равен отношению противолежащего катета к прилежащему. В данной задаче для определенности будем считать, что этот угол находится между гипотенузой и катетом \(y\). Тогда мы можем записать следующее соотношение:

\[\tan(\angle A) = \frac{x}{y} = \frac{8}{15}\]

Теперь у нас есть система уравнений:

\[
\begin{{cases}}
x^2 + y^2 = 51^2 \\
\frac{x}{y} = \frac{8}{15}
\end{{cases}}
\]

Решим эту систему уравнений.

Из второго уравнения можно выразить одну из переменных через другую:

\[x = \frac{8y}{15}\]

Подставим это значение в первое уравнение:

\[\left(\frac{8y}{15}\right)^2 + y^2 = 51^2\]

Упростим получившееся уравнение:

\[\frac{64y^2}{225} + y^2 = 51^2\]

\[\frac{64y^2 + 225y^2}{225} = 51^2\]

\[\frac{289y^2}{225} = 51^2\]

Умножим обе части уравнения на 225:

\[289y^2 = 51^2 \cdot 225\]

\[y^2 = \frac{51^2 \cdot 225}{289}\]

\[y^2 = \frac{51^2 \cdot 225}{17^2}\]

\[y^2 = \frac{51^2 \cdot 15^2}{17^2}\]

\[y^2 = (3 \cdot 17 \cdot 5)^2\]

Таким образом, мы получили, что

\[y = 3 \cdot 17 \cdot 5\]

\[y = 255\]

Теперь найдем значение катета \(x\) из второго уравнения:

\[x = \frac{8y}{15} = \frac{8 \cdot 255}{15} = \frac{2040}{15} = 136\]

Таким образом, длина катетов прямоугольного треугольника равна 136 см и 255 см соответственно.