Каков объем прямой призмы с прямоугольным треугольником в качестве основания, у которого один из катетов равен

Чтобы решить эту задачу, давайте разобьем ее на несколько шагов.

Шаг 1: Построение диаграммы
Для начала построим диаграмму прямой призмы с прямоугольным треугольником в качестве основания.

      /|\

     / | \

    /  |  \

   /   |   \

  /    |    \

 /     |     \

 --------

Шаг 2: Разбиение задачи на части
Дано:
- Один из катетов прямоугольного треугольника равен 4 см
- Площадь сечения через другой катет и противолежащую вершину верхнего основания равна 15 см²
- Длина бокового ребра равна 3 см

Найти:
- Объем прямой призмы

Шаг 3: Нахождение площади основания
Для начала, чтобы найти объем прямой призмы, нам необходимо найти площадь основания.

Площадь основания можно найти, зная длины двух катетов прямоугольного треугольника. Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения длин его катетов.

Пусть \(a\) и \(b\) - катеты прямоугольного треугольника. Тогда площадь этого треугольника можно выразить следующей формулой:

\[S_{\text{прям. треуг.}} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b\]

В нашей задаче один из катетов равен 4 см, поэтому, заменяя \(a\) на 4 см, формула будет выглядеть следующим образом:

\[S_{\text{прям. треуг.}} = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot b\]

Таким образом, нам известно, что

\[S_{\text{прям. треуг.}} = 15 \, \text{см}^2\]

Подставляя данное значение в формулу, получаем:

\[15 \, \text{см}^2 = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot b\]

Шаг 4: Нахождение длины второго катета
Теперь можем решить уравнение и найти значение второго катета \(b\):

\[\frac{1}{2} \cdot 4 \cdot b = 15 \, \text{см}^2\]

Упрощая это уравнение, получаем:

\[2b = \frac{15}{4} \, \text{см}^2\]

Затем делим обе стороны на 2:

\[b = \frac{15}{8} \, \text{см}\]

Таким образом, длина второго катета \(b\) равна \(\frac{15}{8}\) см.

Шаг 5: Нахождение высоты призмы
Высоту призмы мы можем найти, зная длину бокового ребра и второй катет прямоугольного треугольника. По определению прямой призмы, высота и боковое ребро являются перпендикулярными, поэтому, зная боковое ребро \(c\) и второй катет \(b\), можем найти высоту \(h\) призмы.

Применим теорему Пифагора, чтобы найти высоту призмы:

\[h = \sqrt{c^2 - b^2}\]

Заменяя значения \(c\) и \(b\) на 3 см и \(\frac{15}{8}\) см соответственно, получаем:

\[h = \sqrt{3^2 - \left(\frac{15}{8}\right)^2}\]

Выполняя вычисления, получаем:

\[h = \sqrt{9 - \frac{225}{64}}\]
\[h = \sqrt{\frac{576 - 225}{64}}\]
\[h = \sqrt{\frac{351}{64}}\]
\[h = \frac{\sqrt{351}}{\sqrt{64}}\]
\[h = \frac{\sqrt{351}}{8}\]

Таким образом, высота призмы \(h\) равна \(\frac{\sqrt{351}}{8}\) см.

Шаг 6: Нахождение объема прямой призмы
Теперь, когда у нас есть площадь основания и высота призмы, можем найти объем прямой призмы.

Объем прямой призмы можно найти, умножив площадь основания на высоту призмы:

\[V_{\text{призмы}} = S_{\text{основания}} \cdot h\]

В нашем случае, площадь основания равна 15 см², а высота призмы равна \(\frac{\sqrt{351}}{8}\) см. Подставляя значения в формулу, получаем:

\[V_{\text{призмы}} = 15 \cdot \frac{\sqrt{351}}{8} \, \text{см}^3\]

Упрощая это выражение, получаем:

\[V_{\text{призмы}} = \frac{15\sqrt{351}}{8} \, \text{см}^3\]

Таким образом, объем прямой призмы равен \(\frac{15\sqrt{351}}{8}\) кубическим сантиметрам.

Вот и все! Мы рассмотрели все шаги и нашли объем прямой призмы в данной задаче. Если у вас возникнут другие вопросы, пожалуйста, не стесняйтесь задавать их!