Если площадь квадрата, в который вписана окружность, равна S, то каковы длина окружности C и площадь круга

Хорошо, давайте решим эту задачу шаг за шагом!

Пусть сторона квадрата равна \(a\). По определению, окружность вписана в квадрат, если её диаметр равен стороне квадрата. Следовательно, диаметр окружности тоже равен \(a\).

Чтобы найти длину окружности \(C\), нам нужно знать формулу для длины окружности, которая выражается через её радиус или диаметр. В данном случае диаметр окружности равен \(a\), поэтому мы можем использовать следующую формулу:

\[C = \pi \cdot d\]

Где \(d\) - диаметр окружности. Подставляя значение \(a\) вместо \(d\), получаем:

\[C = \pi \cdot a\]

Теперь давайте найдем площадь круга, который вписан в данный квадрат. Площадь круга выражается через её радиус или диаметр, и мы уже знаем, что диаметр окружности равен \(a\). Формула для площади круга выглядит следующим образом:

\[S = \pi \cdot r^{2}\]

Где \(r\) — радиус окружности. Радиус окружности равен половине диаметра, то есть \(r = \frac{a}{2}\). Подставляя данное значение \(r\) в формулу, получаем:

\[S = \pi \cdot \left(\frac{a}{2}\right)^{2}\]

Упрощая, получаем:

\[S = \pi \cdot \frac{a^{2}}{4}\]

Итак, мы получили выражение для длины окружности \(C\) и площади круга \(S\) через сторону квадрата \(a\):

\[C = \pi \cdot a \quad \text{и} \quad S = \pi \cdot \frac{a^{2}}{4}\]

Это и есть ответ на задачу. Надеюсь, это решение понятно для вас, и вы можете использовать эти формулы для решения подобных задач.