При облете некоторой планеты астронавты заметили, что ускорение свободного падения на высоте h от ее поверхности равно

Задача состоит в определении значения высоты h от поверхности планеты при известных значениях диаметра планеты d, ускорения свободного падения g и массы планеты m.

Для решения этой задачи мы воспользуемся формулой для ускорения свободного падения на высоте h от поверхности планеты:

\[g" = \dfrac{{G \cdot m}}{{(R + h)^2}}\]

где g" - ускорение свободного падения на высоте h, G - гравитационная постоянная, m - масса планеты, R - радиус планеты, h - высота над поверхностью планеты.

Для решения задачи нам необходимо определить значение высоты h. Исходя из данной формулы, можем составить уравнение:

\[g = \dfrac{{G \cdot m}}{{(R + h)^2}}\]

Теперь найдем величину радиуса планеты R, используя известные значения диаметра планеты d (который равен \(2R\)):

\[R = \dfrac{d}{2}\]

Подставим это значение в уравнение для высоты h:

\[g = \dfrac{{G \cdot m}}{{\left(\dfrac{d}{2} + h\right)^2}}\]

Преобразуем уравнение, избавившись от знаменателя:

\[(R + h)^2 = \dfrac{{G \cdot m}}{{g}}\]

\[\left(\dfrac{d}{2} + h\right)^2 = \dfrac{{G \cdot m}}{{g}}\]

Возведем обе части уравнения в квадрат:

\[\dfrac{{d^2}}{4} + dh + h^2 = \dfrac{{G \cdot m}}{{g}}\]

Теперь можем решить данное квадратное уравнение относительно h. Для этого перепишем его в стандартной форме:

\[h^2 + dh + \dfrac{{d^2}}{4} - \dfrac{{G \cdot m}}{{g}} = 0\]

Приведем подобные члены и преобразуем уравнение:

\[h^2 + dh + \dfrac{{d^2}}{4} - \dfrac{{G \cdot m}}{{g}} = 0\]

\[4h^2 + 4dh + d^2 - \dfrac{{4G \cdot m}}{{g}} = 0\]

Решим данное уравнение с помощью квадратного корня:

\[h = \dfrac{{-4d \pm \sqrt{{(4d)^2 - 4 \cdot 4 \cdot (d^2 - \frac{{4G \cdot m}}{{g}})}}}}{{2 \cdot 4}}\]

\[h = \dfrac{{-d \pm \sqrt{{d^2 - \frac{{4G \cdot m}}{{g}}}}}}{4}\]

Теперь можно подставить известные значения d, m и g, а также значение гравитационной постоянной G и рассчитать значение высоты h.

Пожалуйста, используйте калькулятор для выполнения всех необходимых расчетов.