При каком значении переменной C прямая {3x - 2y + z + 3 = 0} и {4x -3y + 4z + 1 = 0} будет параллельна плоскости

Ок, давайте рассмотрим эту задачу шаг за шагом.

Сначала нам нужно установить условие параллельности прямой и плоскости. Для этого мы знаем, что если вектор направления прямой параллелен вектору нормали плоскости, то они будут параллельны.

У нас есть две прямые, заданные уравнениями:
\(3x - 2y + z + 3 = 0\)
\(4x - 3y + 4z + 1 = 0\)

И у нас есть плоскость, заданная уравнением:
\(2x - y + cz - 2 = 0\)

Для определения вектора направления прямых мы можем записать коэффициенты \(x\), \(y\) и \(z\) в виде вектора:

Для первой прямой:
\(\vec{V_1} = \begin{bmatrix}3 \\ -2 \\ 1\end{bmatrix}\)

Для второй прямой:
\(\vec{V_2} = \begin{bmatrix}4 \\ -3 \\ 4\end{bmatrix}\)

А теперь нам нужно найти вектор нормали плоскости. Для этого мы можем записать коэффициенты \(x\), \(y\) и \(z\) плоскости в виде вектора:

\(\vec{N} = \begin{bmatrix}2 \\ -1 \\ c\end{bmatrix}\)

Поскольку прямая параллельна плоскости, вектор направления прямой должен быть параллелен вектору нормали плоскости. Это можно записать в виде условия равенства скалярного произведения этих векторов нулю:

\(\vec{V_1} \cdot \vec{N} = 0\) и \(\vec{V_2} \cdot \vec{N} = 0\)

Вычислим первое скалярное произведение:

\(\begin{bmatrix}3 \\ -2 \\ 1\end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}2 \\ -1 \\ c\end{bmatrix} = 3 \cdot 2 + (-2) \cdot (-1) + 1 \cdot c = 6 + 2 + c = 8 + c\)

Теперь рассмотрим второе скалярное произведение:

\(\begin{bmatrix}4 \\ -3 \\ 4\end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}2 \\ -1 \\ c\end{bmatrix} = 4 \cdot 2 + (-3) \cdot (-1) + 4 \cdot c = 8 + 3 + 4c = 11 + 4c\)

Поскольку эти скалярные произведения должны быть равны нулю, мы можем записать уравнение:

\(8 + c = 0\) и \(11 + 4c = 0\)

Решим первое уравнение:

\(c = -8\)

Решим второе уравнение:

\(4c = -11\)

\(c = -\frac{11}{4}\)

Таким образом, мы получили два значения переменной \(c\), при которых прямая параллельна плоскости: \(c = -8\) и \(c = -\frac{11}{4}\).

Надеюсь, это решение было понятным и подробным для вас! Я всегда готов помочь!