При каком натуральном числе n будет равно отношение среднего арифметического корней уравнения n^2x^2+3n^3x+4=0

Давайте решим данную задачу пошагово.

Шаг 1: Разложение уравнения на множители
Для начала, давайте попробуем разложить уравнение на множители, чтобы избавиться от квадратных корней.
Итак, у нас есть уравнение: \(n^2x^2 + 3n^3x + 4 = 0\).
Попробуем разложить каждое слагаемое на множители:
\(n^2x^2\) не может быть разложено на множители, так как это произведение одного и того же числа (полный квадрат),
\(3n^3x\) можно разложить на множители следующим образом: \(3n^3x = 3nx \cdot n^2\),
\(4\) - простое число и не может быть разложено на множители.

Получается, что наше уравнение может быть записано в виде:
\(n^2x^2 + 3n^3x + 4 = (n^2x + 1)(3nx + 4) = 0\).

Шаг 2: Нахождение корней уравнения
Исходя из разложения, мы получили два множителя равных нулю:
\(n^2x + 1 = 0\) или \(3nx + 4 = 0\).

Решим каждое уравнение по отдельности:
a) \(n^2x + 1 = 0\)
Для этого уравнения, выражаем x:
\(n^2x = -1\),
\(x = \frac{-1}{n^2}\).

b) \(3nx + 4 = 0\)
Для второго уравнения, выражаем x:
\(3nx = -4\),
\(x = \frac{-4}{3n}\).

Шаг 3: Подсчет среднего арифметического корней
Чтобы определить отношение среднего арифметического корней уравнения \(n^2x^2 + 3n^3x + 4 = 0\) к их среднему, сначала найдем сумму корней и количество корней.

Сумма корней:
\(x_1 + x_2 = \frac{-1}{n^2} + \frac{-4}{3n}\).

Количество корней:
Уравнение имеет два корня, поскольку имеет вид квадратного уравнения.

Теперь вычислим среднее арифметическое корней, разделив их сумму на количество корней.

Среднее арифметическое корней:
\(\frac{(\frac{-1}{n^2} + \frac{-4}{3n})}{2}\).

Шаг 4: Нахождение отношения
Чтобы найти отношение среднего арифметического корней к их среднему, нужно разделить среднее арифметическое на среднее.

Отношение среднего арифметического к их среднему:
\(\frac{\frac{(\frac{-1}{n^2} + \frac{-4}{3n})}{2}}{\frac{\frac{-1}{n^2} + \frac{-4}{3n}}{2}}\).

Шаг 5: Сокращение выражения
Произведем сокращение выражения, упростив его:
\(\frac{\frac{-1}{n^2} + \frac{-4}{3n}}{\frac{-1}{n^2} + \frac{-4}{3n}} = 1\).

Ответ: Таким образом, при любом натуральном числе \(n\), отношение среднего арифметического корней уравнения \(n^2x^2 + 3n^3x + 4 = 0\) равно 1.