При каких значениях x выражения 2х+6, х+7 и х+4 станут последовательными членами геометрической прогрессии? Каковы

Чтобы выражения 2х+6, х+7 и х+4 стали последовательными членами геометрической прогрессии, необходимо, чтобы их отношения образовывали постоянное значение. Обозначим эти члены как a, ar и ar^2, где a - первый член прогрессии, r - шаг прогрессии.

Сначала найдем отношение между вторым и первым членом прогрессии:
\(\frac{{х + 7}}{{2х + 6}} = r\)

Затем найдем отношение между третьим и вторым членом прогрессии:
\(\frac{{х + 4}}{{х + 7}} = r\)

Поскольку все три выражения являются последовательными членами одной геометрической прогрессии, они должны иметь одинаковое значение r. Решим уравнения, чтобы найти значения x и r:

\(\frac{{х + 7}}{{2х + 6}} = \frac{{х + 4}}{{х + 7}}\)

Умножим оба уравнения на вспомогательное выражение (2х + 6)(х + 7):

(х + 7)(х + 7) = (х + 4)(2х + 6)

Раскроем скобки и приведем подобные члены:

х^2 + 14х + 49 = 2х^2 + 14х + 24

Перенесем все члены в одну сторону уравнения:

2х^2 + 14х + 24 - х^2 - 14х - 49 = 0

Упростим уравнение:

х^2 - 25 = 0

Решим это квадратное уравнение:

(x - 5)(x + 5) = 0

Таким образом, уравнение имеет два решения: x = 5 и x = -5.

Теперь, чтобы найти значения ряда, подставим найденные значения x в выражения:

При x = 5:
a = 2х + 6 = 2*5 + 6 = 16
ar = х + 7 = 5 + 7 = 12
ar^2 = х + 4 = 5 + 4 = 9

При x = -5:
a = 2х + 6 = 2*(-5) + 6 = -4
ar = х + 7 = -5 + 7 = 2
ar^2 = х + 4 = -5 + 4 = -1

Таким образом, при значениях x = 5 получаем последовательные члены геометрической прогрессии: 16, 12, 9, а при значениях x = -5 получаем -4, 2, -1.