При каких значениях параметра а система будет иметь два различных решения?

Чтобы определить, при каких значениях параметра a система будет иметь два различных решения, мы должны проанализировать квадратное уравнение, которое образуется при решении данной системы.

Пусть задана система уравнений:
\[
\begin{cases}
y = ax + 1 \\
y = -x^2 + 4x -3
\end{cases}
\]

Чтобы найти значения параметра a, при которых система будет иметь два различных решения, нам необходимо найти дискриминант квадратного уравнения, которое образуется при подстановке первого уравнения системы во второе.

Для этого распишем второе уравнение в виде квадратного уравнения:
\[0 = -x^2 + 4x - 3 - (ax + 1)\]

Упростим его:
\[0 = -x^2 + (4-a)x - 4\]

Теперь найдем дискриминант квадратного уравнения:
\[D = (4-a)^2 - 4(-1)(-4)\]

Раскроем скобки:
\[D = 16 - 8a + a^2 - 16\]

Упростим выражение:
\[D = a^2 - 8a\]

Теперь нам нужно найти значения параметра a, при которых D > 0, так как это будет говорить о том, что уравнение имеет два различных решения.

Решим неравенство:
\[a^2 - 8a > 0\]

Факторизуем его:
\[a(a-8) > 0\]

Получаем два случая, когда неравенство будет выполняться:

1. \(a > 0\) и \(a-8 > 0\). Решая это неравенство, получаем \(a > 8\).

2. \(a < 0\) и \(a-8 < 0\). Решая это неравенство, получаем \(a < 8\).

Таким образом, при значениях параметра a, для которых \(a > 8\) или \(a < 0\), система будет иметь два различных решения.

Пожалуй, это можно объединить в одно выражение:

Ответ: система будет иметь два различных решения при \(a < 0\) или \(a > 8\).