При каких значениях m функция f(x) = x^2 * √(m-x) имеет экстремумы в точках x=0 и x=6? Могли бы вы подсказать?

Конечно! Давайте разберемся с этой задачей.

Для определения экстремумов функции, мы будем использовать производную. Для начала, нам нужно вычислить первую производную f"(x) функции f(x).

Начнем с вычисления производной x^2 * √(m-x) по переменной x. Для этого мы будем использовать правило производной произведения функций:

\[
(fg)" = f"g + fg"
\]

где f" - производная первой функции, и g" - производная второй функции.

Применяя это правило к нашей функции, получим:

\[
f"(x) = (x^2)" * \sqrt{(m-x)} + x^2 * (\sqrt{(m-x)})"
\]

Вычислим производные отдельных частей:

Производная первого слагаемого:
(x^2)" = 2x

Производная второго слагаемого:
(\sqrt{(m-x)})" = \frac{{-1}}{{2\sqrt{(m-x)}}}

Подставим производные обратно в формулу f"(x):

\[
f"(x) = 2x *\sqrt{(m-x)} + x^2 * \left(\frac{{-1}}{{2\sqrt{(m-x)}}}\right)
\]

Теперь, чтобы найти экстремумы, необходимо найти значения x, при которых f"(x) = 0.

Решим уравнение f"(x) = 0:

\[
2x *\sqrt{(m-x)} + x^2 * \left(\frac{{-1}}{{2\sqrt{(m-x)}}}\right) = 0
\]

Упростим это уравнение, умножив обе части на 2\sqrt{(m-x)}:

\[
2x * \sqrt{(m-x)} * 2 \sqrt{(m-x)} + x^2 * (-1) = 0
\]

\[
4x * (m-x) - x^2 = 0
\]

раскроем скобки:

\[
4mx - 4x^2 - x^2 = 0
\]

\[
4mx - 5x^2 = 0
\]

Теперь мы можем выразить x через m:

\[
x(4m - 5x) = 0
\]

Если произведение равно нулю, то либо x = 0, либо (4m - 5x) = 0.

Если x = 0:

Условие (4m - 5x) = 0 дает:

\[
4m - 5 * 0 = 0
\]

\[
4m = 0
\]

Отсюда следует, что m = 0.

Если (4m - 5x) = 0:

\[
4m - 5x = 0
\]

Из этого уравнения можно выразить x:

\[
5x = 4m
\]

\[
x = \frac{{4m}}{{5}}
\]

Мы знаем, что экстремумы функции находятся в точках x = 0 и x = 6. Подставим эти значения x в выражение x = \frac{{4m}}{{5}}:

Для x = 0:

\[
0 = \frac{{4m}}{{5}}
\]

откуда м = 0.

Для x = 6:

\[
6 = \frac{{4m}}{{5}}
\]

Умножим обе части на 5:

\[
30 = 4m
\]

Разделим обе части на 4:

\[
m = 7.5
\]

Итак, при значениях m = 0 и m = 7.5, функция f(x) = x^2 * \sqrt{(m-x)} имеет экстремумы в точках x = 0 и x = 6.