При каких значениях m функция f(x) = x^2 * √(m-x) имеет экстремумы в точках x=0 и x=6? Могли бы вы подсказать?

Конечно! Давайте разберемся с этой задачей.

Для определения экстремумов функции, мы будем использовать производную. Для начала, нам нужно вычислить первую производную f"(x) функции f(x).

Начнем с вычисления производной x^2 * √(m-x) по переменной x. Для этого мы будем использовать правило производной произведения функций:

$$(fg)"=f"g+fg"$$

где f" - производная первой функции, и g" - производная второй функции.

Применяя это правило к нашей функции, получим:

$$f"(x)=(x^2)"\ast \sqrt{(m-x)}+x^2\ast (\sqrt{(m-x)})"$$

Вычислим производные отдельных частей:

Производная первого слагаемого:
(x^2)" = 2x

Производная второго слагаемого:
(\sqrt{(m-x)})" = \frac{{-1}}{{2\sqrt{(m-x)}}}

Подставим производные обратно в формулу f"(x):

$$f"(x)=2x\ast \sqrt{(m-x)}+x^2\ast \left(\frac{-1}{2\sqrt{(m-x)}}\right)$$

Теперь, чтобы найти экстремумы, необходимо найти значения x, при которых f"(x) = 0.

Решим уравнение f"(x) = 0:

$$2x\ast \sqrt{(m-x)}+x^2\ast \left(\frac{-1}{2\sqrt{(m-x)}}\right)=0$$

Упростим это уравнение, умножив обе части на 2\sqrt{(m-x)}:

$$2x\ast \sqrt{(m-x)}\ast 2\sqrt{(m-x)}+x^2\ast (-1)=0$$

$$4x\ast (m-x)-x^2=0$$

раскроем скобки:

$$4mx-4x^2-x^2=0$$

$$4mx-5x^2=0$$

Теперь мы можем выразить x через m:

$$x(4m-5x)=0$$

Если произведение равно нулю, то либо x = 0, либо (4m - 5x) = 0.

Если x = 0:

Условие (4m - 5x) = 0 дает:

$$4m-5\ast 0=0$$

$$4m=0$$

Отсюда следует, что m = 0.

Если (4m - 5x) = 0:

$$4m-5x=0$$

Из этого уравнения можно выразить x:

$$5x=4m$$

$$x=\frac{4m}{5}$$

Мы знаем, что экстремумы функции находятся в точках x = 0 и x = 6. Подставим эти значения x в выражение x = \frac{{4m}}{{5}}:

Для x = 0:

$$0=\frac{4m}{5}$$

откуда м = 0.

Для x = 6:

$$6=\frac{4m}{5}$$

Умножим обе части на 5:

$$30=4m$$

Разделим обе части на 4:

$$m=7.5$$

Итак, при значениях m = 0 и m = 7.5, функция f(x) = x^2 * \sqrt{(m-x)} имеет экстремумы в точках x = 0 и x = 6.