Какие значения x соответствуют точкам на графике функции у = f(x), где касательная параллельна прямой у = kx? Значение

Для решения этой задачи нам необходимо найти значения x, при которых касательная к графику функции у = f(x) параллельна прямой у = kx, где k = 3.

Для начала, давайте найдем производную функции f(x), чтобы найти уравнение касательной. Производная функции f(x) определяется как первая производная от f(x).

\[f"(x) = \frac{d}{dx} (x(x+1))\]

Чтобы найти производную, мы можем использовать правило производной произведения функций (правило Лейбница). Согласно этому правилу, производная произведения двух функций равна произведению производных этих функций плюс произведение этих функций.

Применим это правило:

\[f"(x) = \frac{d}{dx}(x) \cdot (x+1) + x \cdot \frac{d}{dx}(x+1)\]

Вычислим производные от каждой функции:

\[f"(x) = 1 \cdot (x+1) + x \cdot 1\]

\[f"(x) = x + 1 + x\]

\[f"(x) = 2x + 1\]

Теперь мы получили уравнение касательной: y = 2x + 1.

Так как касательная параллельна прямой у = kx, где k = 3, мы можем сравнить коэффициенты при x в уравнениях обеих линий.

Уравнение касательной y = 2x + 1 имеет коэффициент 2 при x, тогда как уравнение прямой y = 3x имеет коэффициент 3.

Таким образом, чтобы касательная к функции у = f(x) была параллельна прямой у = 3x, значения x должны быть такими, что их коэффициенты перед x в функции f(x) и уравнении прямой равны.

Подставим значение k = 3 в уравнение касательной:

3 = 2x + 1

Вычтем 1 из обеих сторон уравнения:

2 = 2x

Разделим обе стороны на 2:

1 = x

Таким образом, для функции у = f(x) значения x, при которых касательная параллельна прямой у = 3x, равны x = 1.