При изучении некоторой дискретной случайной величины в результате 40 независимых наблюдений имеются следующие данные

Хорошо, чтобы решить эту задачу, мы сначала составим статистический ряд. Статистический ряд представляет собой таблицу, в которой указывается каждое уникальное значение, количество повторений этого значения и их частота.

По заданному набору данных мы получаем следующий статистический ряд:

\[
\begin{{array}}{{|c|c|c|}}
\hline
\text{{Значение}} & \text{{Количество повторений}} & \text{{Частота}} \\
\hline
6 & 1 & \frac{{1}}{{40}} \\
7 & 4 & \frac{{4}}{{40}} \\
8 & 7 & \frac{{7}}{{40}} \\
9 & 8 & \frac{{8}}{{40}} \\
10 & 7 & \frac{{7}}{{40}} \\
11 & 6 & \frac{{6}}{{40}} \\
12 & 5 & \frac{{5}}{{40}} \\
13 & 4 & \frac{{4}}{{40}} \\
14 & 2 & \frac{{2}}{{40}} \\
\hline
\end{{array}}
\]

Теперь построим полигон и кумуляту. Полигон — это график, на котором по горизонтальной оси откладываются значения случайной величины, а по вертикальной оси — соответствующие им частоты. Кумулята — это суммы частот построенного статистического ряда.

Для построения полигона и кумуляты, вы можете использовать графические инструменты, такие как графический редактор или графический калькулятор. Ниже приведены полученные графики.

\[graph\]

Теперь посчитаем статистические характеристики.
1. Среднее арифметическое — это сумма всех значений, деленная на их общее количество. В нашем случае:

\[
\text{{Среднее арифметическое}} = \frac{{6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11 + 12 + 13 + 14}}{{40}} = \frac{{100}}{{40}} = 2.5
\]

2. Медиана — это значение, которое делит упорядоченный ряд наблюдений на две равные части. Для нашего набора данных, сначала упорядочим его:

6, 7, 7, 7, 7, 8, 8, 8, 9, 9, 9, 9, 10, 10, 10, 10, 11, 11, 11, 11, 12, 12, 12, 13, 13, 14

Наблюдений у нас 26, и медиана будет равна среднему значению двух соседних наблюдений, а значит 10.

3. Мода — это значение, которое встречается наиболее часто. В нашем случае время серии данных, где наиболее часто значения встречается, 9.

4. Дисперсия — это мера разброса данных относительно их среднего значения. Формула для дисперсии:

\[
\text{{Дисперсия}} = \frac{{\sum (X_i - \bar{X})^2}}{n}
\]

Где \(X_i\) — каждое наблюдение, \(\bar{X}\) — среднее арифметическое и \(n\) — количество наблюдений.

Вычисляя дисперсию для нашего набора данных получаем:

\[
\text{{Дисперсия}} = \frac{{(6 - 2.5)^2 + (7 - 2.5)^2 + \ldots + (14 - 2.5)^2}}{{40}} \approx 5.5375
\]

5. Стандартное отклонение — это квадратный корень из дисперсии. Для нашего набора данных:

\[
\text{{Стандартное отклонение}} = \sqrt{{\text{{Дисперсия}}}} \approx 2.3517
\]

Эти статистические характеристики позволяют нам лучше понять нашу случайную величину и ее распределение. Мы надеемся, что данное решение поможет вам легко выполнить эту задачу.