Предоставлены два натуральных числа. Известно, что результат их умножения кратен 6. а) Является ли это достаточным

Научное решение
Для решения данной задачи давайте рассмотрим каждый пункт по отдельности:

а) Для того чтобы проверить, является ли условие "результат умножения двух чисел кратен 6" достаточным для того, чтобы одно из чисел делилось на 6, нужно провести доказательство от противного. Предположим, что результат умножения двух чисел кратен 6, но ни одно из чисел само по себе не делится на 6.

Пусть у нас есть два числа \(a\) и \(b\), таких что \(ab\) делится на 6, но ни \(a\), ни \(b\) не делятся на 6. Это означает, что \(a\) и \(b\) должны быть одновременно нечетными числами, так как любое четное число делится на 2. Кроме того, ни \(a\), ни \(b\) не делятся на 3, иначе результат их умножения тоже был бы кратен 3.

Теперь рассмотрим пример, где \(a\) и \(b\) - два нечетных числа, которые не делятся на 6. Пусть \(a = 1\) и \(b = 5\). Результат умножения будет \(ab = 1 \cdot 5 = 5\), что не является кратным 6. Таким образом, мы нашли случай, где условие "результат умножения двух чисел кратен 6" верно, но ни одно из чисел не делится на 6.

Итак, мы можем заключить, что условие "результат умножения двух чисел кратен 6" не является достаточным для того, чтобы одно из чисел делалось на 6.

б) Теперь рассмотрим вторую часть задачи, где нужно определить, является ли условие "результат умножения двух чисел кратен 6" необходимым для того, чтобы одно из чисел делалось на 6.

Для доказательства, что данное условие является необходимым, мы можем использовать прямое доказательство. То есть, нам нужно показать, что если результат умножения двух чисел не кратен 6, то ни одно из чисел не будет делиться на 6.

Предположим, что результат умножения двух чисел \(a\) и \(b\) не кратен 6, то есть \(ab\) не делится на 6. Это означает, что \(ab\) имеет остаток при делении на 6. Давайте рассмотрим все возможные остатки, которые могут быть у \(ab\) при делении на 6:

1) Остаток 1: Этот остаток возникает, когда произведение двух чисел даёт 1 при делении на 6. Чтобы это произошло, оба числа \(a\) и \(b\) также должны давать остаток 1 при делении на 6. Но число 1 не делится на 6, поэтому данное условие не выполняется.

2) Остаток 2: Точно также, чтобы получить остаток 2 при делении \(ab\) на 6, оба числа \(a\) и \(b\) должны дать остаток 2 при делении на 6. Так как число 2 также не делится на 6, это условие также не выполняется.

3) Остаток 3: Аналогично, чтобы получить остаток 3 при делении \(ab\) на 6, оба числа \(a\) и \(b\) должны дать остаток 3 при делении на 6. Опять же, число 3 не делится на 6, поэтому это условие не выполняется.

4) Остаток 4: Похожим образом, чтобы получить остаток 4 при делении \(ab\) на 6, оба числа \(a\) и \(b\) должны дать остаток 4 при делении на 6. Но число 4 также не делится на 6, поэтому данное условие не выполняется.

5) Остаток 5: Чтобы получить остаток 5 при делении \(ab\) на 6, оба числа \(a\) и \(b\) должны дать остаток 5 при делении на 6. И снова, число 5 не делится на 6, поэтому это условие не выполняется.

Мы рассмотрели все возможные остатки при делении \(ab\) на 6 и убедились, что ни одно из них не приводит к делению какого-либо из чисел \(a\) или \(b\) на 6.

Итак, мы можем заключить, что условие "результат умножения двух чисел кратен 6" является необходимым для того, чтобы одно из чисел делалось на 6.

Надеюсь, данное объяснение помогло понять ответ на поставленную задачу! Если возникнут еще вопросы, не стесняйтесь задавать!