Постройте уравнение горизонтальной асимптоты графика последовательности Yn=3/(n²+1)/(n-3

Для построения уравнения горизонтальной асимптоты графика последовательности Yn = \(\frac{3}{n^2 + 1}\)/(n - 3), мы должны проанализировать поведение последовательности при достаточно больших значениях n.

Начнем с того, что нам нужно найти предел последовательности Yn при n, стремящемся к бесконечности (\(n \to \infty\)). Для этого произведем несколько шагов:

1. Вспомним базовые правила предела последовательности. Если есть последовательность An/Bn и предел Bn при \(n \to \infty\) равен ненулевому числу, то предел An при \(n \to \infty\) равен отношению предела An к пределу Bn.

2. Применим это правило к нашей последовательности. У нас есть Yn = \(\frac{3}{n^2 + 1}\)/(n - 3). Разделим числитель и знаменатель на \(n^2\): Yn = \(\frac{3/n^2}{1 + 1/n^2}\)/(n/n - 3/n). Сократим некоторые слагаемые: Yn = \(\frac{3/n^2}{1/n^2 + 1}\)/(1 - 3/n). Теперь представим каждое из слагаемых в виде отдельных последовательностей: An = 3/n^2, Bn = 1/n^2 + 1 и Cn = 1 - 3/n.

3. Вычислим пределы каждой из последовательностей при \(n \to \infty\):
- Предел An при \(n \to \infty\) равен 0, так как n^2 увеличивается быстрее, чем 3.
- Предел Bn при \(n \to \infty\) также равен 0, так как и числитель, и знаменатель стремятся к 0.
- Предел Cn при \(n \to \infty\) равен 1, так как отношение 3/n устремляется к нулю, и знаменатель равен 1 - 0.

4. Используя правило предела произведения, получаем предел исходной последовательности Yn при \(n \to \infty\):
Предел Yn = \(\frac{0}{0 \cdot 1}\) = 0.

Теперь, чтобы построить уравнение горизонтальной асимптоты, учтем, что предел Yn равен 0. Горизонтальная асимптота графика последовательности будет проходить через точку (0, 0), так как предел определяет поведение графика в бесконечности.

Таким образом, уравнение горизонтальной асимптоты графика последовательности Yn = \(\frac{3}{n^2 + 1}\)/(n - 3) равно у = 0.