Каков общий вид первообразной для функции f(x) = 2x² + 3/x⁴ + √x

Хорошо, чтобы найти общий вид первообразной для функции \(f(x) = 2x^2 + \frac{3}{x^4} + \sqrt{x}\), мы должны интегрировать каждое слагаемое по отдельности.

1. Интегрирование \(2x^2\) по \(x\):
Для интегрирования \(x^n\) мы используем формулу \(\int x^n \, dx = \frac{{x^{n+1}}}{{n+1}} + C\), где \(C\) - постоянная интегрирования. Применяя эту формулу, получим:
\[\int 2x^2 \, dx = \frac{{2x^{2+1}}}{{2+1}} + C_1 = \frac{{2x^3}}{3} + C_1\]

2. Интегрирование \(\frac{3}{x^4}\) по \(x\):
Для интегрирования \(\frac{1}{x^n}\) мы используем формулу \(\int \frac{1}{x^n} \, dx = -\frac{{x^{1-n}}}{{1-n}} + C\), где \(C\) - постоянная интегрирования. Применяя эту формулу, получим:
\[\int \frac{3}{x^4} \, dx = -\frac{{x^{1-4}}}{{1-4}} + C_2 = -\frac{{x^{-3}}}{{-3}} + C_2 = \frac{{1}}{{3x^3}} + C_2\]

3. Интегрирование \(\sqrt{x}\) по \(x\):
Для интегрирования \(\sqrt{x}\) мы используем формулу \(\int \sqrt{x} \, dx = \frac{{2 \sqrt{x^3}}}{{3}} + C\), где \(C\) - постоянная интегрирования. Применяя эту формулу, получим:
\[\int \sqrt{x} \, dx = \frac{{2 \sqrt{x^3}}}{{3}} + C_3\]

Теперь объединим все найденные интегралы:

\[\int f(x) \, dx = \int (2x^2 + \frac{3}{x^4} + \sqrt{x}) \, dx\]
\[= \frac{{2x^3}}{3} + \frac{{1}}{{3x^3}} + \frac{{2 \sqrt{x^3}}}{{3}} + C\]
\[= \frac{{2x^3 + x}}{{3x^3}} + \frac{{2 \sqrt{x^3}}}{{3}} + C\]

Таким образом, общий вид первообразной для функции \(f(x) = 2x^2 + \frac{3}{x^4} + \sqrt{x}\) равен:
\[\frac{{2x^3 + x}}{{3x^3}} + \frac{{2 \sqrt{x^3}}}{{3}} + C\]