Каков общий вид первообразной для функции f(x) = 2x² + 3/x⁴

Question

Алгебра: Каков общий вид первообразной для функции f(x) = 2x² + 3/x⁴ + √x

Пугающая_Змея · Accepted Answer

Хорошо, чтобы найти общий вид первообразной для функции

f (x) = 2 x^{2} + \frac{3}{x^{4}} + \sqrt{x}

, мы должны интегрировать каждое слагаемое по отдельности.

1. Интегрирование

2 x^{2}

по

x

:
Для интегрирования

x^{n}

мы используем формулу

\int x^{n} d x = \frac{x^{n + 1}}{n + 1} + C

, где

C

- постоянная интегрирования. Применяя эту формулу, получим:

\int 2 x^{2} d x = \frac{2 x^{2 + 1}}{2 + 1} + C_{1} = \frac{2 x^{3}}{3} + C_{1}

2. Интегрирование

\frac{3}{x^{4}}

по

x

:
Для интегрирования

\frac{1}{x^{n}}

мы используем формулу

\int \frac{1}{x^{n}} d x = - \frac{x^{1 - n}}{1 - n} + C

, где

C

- постоянная интегрирования. Применяя эту формулу, получим:

\int \frac{3}{x^{4}} d x = - \frac{x^{1 - 4}}{1 - 4} + C_{2} = - \frac{x^{- 3}}{- 3} + C_{2} = \frac{1}{3 x^{3}} + C_{2}

3. Интегрирование

\sqrt{x}

по

x

:
Для интегрирования

\sqrt{x}

мы используем формулу

\int \sqrt{x} d x = \frac{2 \sqrt{x^{3}}}{3} + C

, где

C

- постоянная интегрирования. Применяя эту формулу, получим:

\int \sqrt{x} d x = \frac{2 \sqrt{x^{3}}}{3} + C_{3}

Теперь объединим все найденные интегралы:

\int f (x) d x = \int (2 x^{2} + \frac{3}{x^{4}} + \sqrt{x}) d x

= \frac{2 x^{3}}{3} + \frac{1}{3 x^{3}} + \frac{2 \sqrt{x^{3}}}{3} + C

= \frac{2 x^{3} + x}{3 x^{3}} + \frac{2 \sqrt{x^{3}}}{3} + C

Таким образом, общий вид первообразной для функции

f (x) = 2 x^{2} + \frac{3}{x^{4}} + \sqrt{x}

равен:

\frac{2 x^{3} + x}{3 x^{3}} + \frac{2 \sqrt{x^{3}}}{3} + C

Каков общий вид первообразной для функции f(x) = 2x² + 3/x⁴ + √x