Постройте параболу, определите её ось симметрии и вершину, а также укажите диапазон значений функций

Хорошо, давайте решим вашу задачу построения параболы и определения её оси симметрии, вершины и диапазона значений функции.

Параболу можно построить по уравнению вида \(y = ax^2 + bx + c\), где \(a\), \(b\) и \(c\) - коэффициенты.

Для определения оси симметрии параболы воспользуемся тем фактом, что ось симметрии проходит через вершину параболы.

Пара \(x\) и \(y\) координат вершины \(V(h, k)\) параболы может быть найдена с помощью формулы:

\[h = -\frac{b}{2a}\]

\[k = f(h) = ah^2 + bh + c\]

Таким образом, чтобы найти ось симметрии параболы, нам нужно найти значения \(h\) и \(k\).

Диапазон значений функции определяется исходя из того, является ли коэффициент \(a\) положительным или отрицательным. Если \(a > 0\), то парабола будет направлена вверх и диапазон значений будет \([k, +\infty)\). Если \(a < 0\), то парабола будет направлена вниз и диапазон значений будет \((-\infty, k]\).

Давайте разберем пример для лучшего понимания. Пусть у нас есть парабола с уравнением \(y = 2x^2 - 4x + 1\).

1. Выразим \(a\), \(b\) и \(c\) из уравнения. В данном случае \(a = 2\), \(b = -4\) и \(c = 1\).
2. Найдем ось симметрии с помощью формулы \(h = -\frac{b}{2a}\). Подставим значения \(a = 2\) и \(b = -4\) в формулу:

\[h = -\frac{-4}{2 \cdot 2} = -\frac{-4}{4} = 1\]

Таким образом, ось симметрии проходит через точку \(x = 1\).
3. Теперь найдем точку вершины параболы, подставив \(h = 1\) в уравнение \(y = 2x^2 - 4x + 1\):

\[k = f(1) = 2 \cdot 1^2 - 4 \cdot 1 + 1 = 2 - 4 + 1 = -1\]

Таким образом, вершина параболы находится в точке \(V(1, -1)\).
4. Определим диапазон значений функции. В данном примере \(a = 2\), что является положительным числом, поэтому диапазон значений будет \([-1, +\infty)\).

Итак, построив параболу, найдя её ось симметрии и вершину, а также определив диапазон значений функции, мы получили полное представление об этой функции.