Постройте график функции y=(x−3)^2−2 и сравните его с графиком, представленным в ответе. Укажите координаты вершины

Для построения графика функции \(y=(x-3)^2-2\) сравним его с общим видом параболы \(y = ax^2 + bx + c\), где \(a\), \(b\) и \(c\) - коэффициенты, определяющие форму параболы. В данной задаче у нас \(a=1\) (коэффициент при \(x^2\)), \(b=-6\) (коэффициент при \(x\)) и \(c=-7\).

1. Шаг: Найдем координаты вершины параболы. Формула для вершины параболы задается следующим образом:
\(x_0 = -\frac{b}{2a}\) и \(y_0 = f(x_0)\), где \(f(x)\) - уравнение параболы.

Подставляя значения \(a\), \(b\) и \(c\) в формулу, получим:
\(x_0 = -\frac{-6}{2 \cdot 1} = 3\) и \(y_0 = f(3) = (3-3)^2 - 2 = -2\).

Таким образом, координаты вершины параболы равны \(x_0 = 3\) и \(y_0 = -2\).

2. Шаг: Построение графика функции \(y=(x-3)^2-2\).

Для построения графика функции \(y=(x-3)^2-2\) используем координатные оси x и y.

- Определяем масштаб для графика по осям x и y, например, 1 деление по оси x может соответствовать 1 единице, а по оси y - 2 единицам.
- Отмечаем на оси x точку, соответствующую вершине параболы (3, -2).
- Подставляем значения x в уравнение функции, чтобы найти соответствующие значения y. Например, для x=0: \(y = (0-3)^2 - 2 = 7\), исходя из этого, можно отметить точку (0, 7). Аналогично поступаем для других значений x.
- Соединяем полученные точки, образуя параболу.

Полученный график будет выглядеть следующим образом:

\[
\begin{array}{l}
\begin{array}{|c|c|}
\hline
x & y \\
\hline
0 & 7 \\
1 & 4 \\
2 & 1 \\
3 & -2 \\
4 & 1 \\
5 & 4 \\
\hline
\end{array}
\end{array}
\]

Ответ: График функции \(y=(x-3)^2-2\) представлен на рисунке ниже.

(Здесь должен быть график функции)

Координаты вершины параболы равны \(x_0 = 3\) и \(y_0 = -2\).

3. Шаг: Пересечение графика функции с осью x.

Чтобы найти точку пересечения графика параболы с осью x, нужно приравнять \(y\) к нулю и решить уравнение:
\((x-3)^2-2 = 0\).

Решим это уравнение:
\((x-3)^2-2 = 0\)
\((x-3)^2 = 2\)
\(x-3 = \sqrt{2}\) или \(x-3 = -\sqrt{2}\)

Отсюда получаем две точки пересечения с осью x:
\(x_1 = 3 + \sqrt{2}\) и \(x_2 = 3 - \sqrt{2}\).

Ответ: График функции \(y=(x-3)^2-2\) пересекает ось x в точках \(x_1 = 3 + \sqrt{2}\) и \(x_2 = 3 - \sqrt{2}\).