Какие значения x являются нулями функции и координатами вершины параболы с уравнением y=(x−11)^2-49? Запишите нули

Чтобы найти нули функции и координаты вершины параболы с уравнением \(y=(x-11)^2-49\), мы должны решить две задачи: найти нули функции и найти координаты вершины параболы.

1. Нули функции:
Нули функции - это значения x, при которых функция равна нулю. То есть, чтобы найти нули функции, мы должны приравнять функцию к нулю и решить уравнение.

\[0 = (x-11)^2 - 49\]

Для удобства решения, раскроем квадрат в левой части уравнения:

\[0 = x^2 - 22x + 121 - 49\]

Теперь объединим подобные слагаемые:

\[0 = x^2 - 22x + 72\]

Чтобы решить это уравнение, мы можем факторизовать его или использовать квадратное уравнение. Однако, в данном случае уравнение не факторизуется легко, поэтому воспользуемся формулой квадратного корня:

\[x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\]

В нашем случае, коэффициенты уравнения равны:

\[a = 1\]
\[b = -22\]
\[c = 72\]

Подставляя эти значения в формулу, получаем:

\[x = \frac{-(-22) \pm \sqrt{(-22)^2 - 4(1)(72)}}{2(1)}\]

Выполняя вычисления, получаем:

\[x_1 = \frac{22 + \sqrt{484 - 288}}{2}\]
\[x_2 = \frac{22 - \sqrt{484 - 288}}{2}\]

\[x_1 = \frac{22 + \sqrt{196}}{2}\]
\[x_2 = \frac{22 - \sqrt{196}}{2}\]

\[x_1 = \frac{22 + 14}{2}\]
\[x_2 = \frac{22 - 14}{2}\]

\[x_1 = \frac{36}{2}\]
\[x_2 = \frac{8}{2}\]

\[x_1 = 18\]
\[x_2 = 4\]

Поэтому нули функции равны 18 и 4.

2. Координаты вершины параболы:
Координаты вершины параболы могут быть найдены, используя формулы:

\[x_{кв} = -\frac{b}{2a}\]
\[y_{кв} = f(x_{кв}) = (x_{кв} - 11)^2 - 49\]

В нашем случае a = 1, b = -22. Подставив эти значения в формулу и вычислив, получим:

\[x_{кв} = -\frac{-22}{2(1)}\]
\[x_{кв} = \frac{22}{2}\]
\[x_{кв} = 11\]

Теперь найдем y-координату вершины, подставив x = 11 в исходное уравнение:

\[y_{кв} = (11-11)^2 - 49\]
\[y_{кв} = 0 - 49\]
\[y_{кв} = -49\]

Поэтому координаты вершины параболы равны (11, -49).

Таким образом, значения x, являющиеся нулями функции, записанные в порядке возрастания, равны 4 и 18, а координаты вершины параболы равны (11, -49).