Постройте график функции f(x), где f(x)={x2+4x+3,еслиx∈[−5;0]x+1−−−−√+2,еслиx∈(0;3]. Определите интервалы, на которых

Для решения задачи, сначала построим график функции \(f(x)\). Затем, используя график, определим интервалы возрастания и убывания, экстремумы функции, наибольшие и наименьшие значения, интервалы с одинаковым знаком, четность функции и нули функции.

1. Построение графика функции \(f(x)\):

Для начала построим график первого кусочно-заданного участка функции для интервала \([-5, 0]\). Уравнение этого участка функции \(f(x)\) имеет вид:
\[f(x) = x^2 + 4x + 3 \quad \text{, где } x \in [-5, 0]\]

Чтобы построить график, подставим несколько значений \(x\) из интервала \([-5, 0]\) в уравнение и найдем соответствующие значения \(f(x)\).

Подставим \(x = -5\) в уравнение:
\[f(-5) = (-5)^2 + 4(-5) + 3 = 25 - 20 + 3 = 8\]

Подставим \(x = -4\) в уравнение:
\[f(-4) = (-4)^2 + 4(-4) + 3 = 16 - 16 + 3 = 3\]

Подставим \(x = -3\) в уравнение:
\[f(-3) = (-3)^2 + 4(-3) + 3 = 9 - 12 + 3 = 0\]

Подставим \(x = -2\) в уравнение:
\[f(-2) = (-2)^2 + 4(-2) + 3 = 4 - 8 + 3 = -1\]

Подставим \(x = -1\) в уравнение:
\[f(-1) = (-1)^2 + 4(-1) + 3 = 1 - 4 + 3 = 0\]

Подставим \(x = 0\) в уравнение:
\[f(0) = (0)^2 + 4(0) + 3 = 0 + 0 + 3 = 3\]

Таким образом, для интервала \([-5, 0]\) график функции \(f(x) = x^2 + 4x + 3\) выглядит следующим образом:

\[
\begin{array}{|c|c|}
\hline
x & f(x) \\
\hline
-5 & 8 \\
-4 & 3 \\
-3 & 0 \\
-2 & -1 \\
-1 & 0 \\
0 & 3 \\
\hline
\end{array}
\]

Далее, построим график второго кусочно-заданного участка функции для интервала \((0, 3]\). Уравнение этого участка функции \(f(x)\) имеет вид:
\[f(x) = \sqrt{x + 1} + 2 \quad \text{, где } x \in (0, 3]\]

Аналогично, подставим несколько значений \(x\) из интервала \((0, 3]\) в уравнение и найдем соответствующие значения \(f(x)\).

Подставим \(x = 1\) в уравнение:
\[f(1) = \sqrt{1 + 1} + 2 = \sqrt{2} + 2 \approx 3.414\]

Подставим \(x = 2\) в уравнение:
\[f(2) = \sqrt{2 + 1} + 2 = \sqrt{3} + 2 \approx 3.732\]

Подставим \(x = 3\) в уравнение:
\[f(3) = \sqrt{3 + 1} + 2 = \sqrt{4} + 2 = 2 + 2 = 4\]

Таким образом, для интервала \((0, 3]\) график функции \(f(x) = \sqrt{x + 1} + 2\) выглядит следующим образом:

\[
\begin{array}{|c|c|}
\hline
x & f(x) \\
\hline
1 & \approx 3.414 \\
2 & \approx 3.732 \\
3 & 4 \\
\hline
\end{array}
\]

2. Определение интервалов возрастания и убывания, экстремумов и наибольших/наименьших значений функции:

Возрастание функции: функция возрастает на интервалах, где график функции строго поднимается вверх.

Исходя из графика, можно увидеть, что функция возрастает на интервалах \([-2, 3]\) и \((-1, 3]\). Таким образом, интервалы возрастания функции: \(x \in [-2, 3]\) или \(x \in (-1, 3]\) (выбор включения или исключения границы интервала зависит от обозначения в задаче).

Убывание функции: функция убывает на интервалах, где график функции строго спускается вниз.

Исходя из графика, можно увидеть, что функция убывает на интервалах \([-5, -2)\) и \((-5, -3)\). Таким образом, интервалы убывания функции: \(x \in [-5, -2)\) или \(x \in (-5, -3)\) (выбор включения или исключения границы интервала зависит от обозначения в задаче).

Экстремумы функции: экстремумы функции (максимумы и минимумы) являются точками, в которых график функции имеет локальные максимумы и минимумы.

Из графика можно видеть, что функция имеет локальный минимум в точке \((-2, -1)\) и локальный максимум в точке \((3, 4)\). Значения функции в этих точках: \(f(-2) = -1\) и \(f(3) = 4\).

Наибольшие и наименьшие значения функции: наибольшее значение функции соответствует глобальному максимуму функции, а наименьшее значение функции соответствует глобальному минимуму функции.

Из графика можно видеть, что глобальный максимум функции находится в точке \((3, 4)\), а глобальный минимум функции находится в точке \((-2, -1)\). Значения функции в этих точках: \(f(-2) = -1\) и \(f(3) = 4\).

Интервалы с одинаковым знаком: интервалы, на которых функция имеет постоянный знак (положительный или отрицательный), можно выявить из графика.

Из графика можно видеть, что функция \(f(x)\) положительна на интервалах \((-5, -2)\) и \((3, +\infty)\), а отрицательна на интервалах \((-2, 3)\) и \((-\infty, -5)\).

Четность функции: функция \(f(x)\) является нечетной, если выполняется следующее свойство: \(f(-x) = -f(x)\) для любого \(x\) из области определения функции.

Обратимся к полученному графику. Отражение графика функции \(f(x)\) относительно оси \(y\) даёт нам отраженный график \(f(-x)\). Если отраженный график совпадает с исходным графиком, то функция является четной. Если отраженный график меняет знак, то функция является нечетной.

Из графика видно, что график функции \(f(x) = x^2 + 4x + 3\) не совпадает с его отражением. Таким образом, функция \(f(x)\) является нечетной.

Нули функции и точки пересечения с осями \(x\) и \(y\):

Нули функции: нули функции - это значения \(x\), при которых \(f(x) = 0\).

Из графика видно, что функция \(f(x)\) имеет нули при \(x = -3\) и \(x = -1\).

Точки пересечения с осями \(x\) и \(y\): точки пересечения с осью \(x\) - это точки, где график функции пересекает ось \(x\) (\(f(x) = 0\)). Точки пересечения с осью \(y\) - это точка, в которой график функции пересекает ось \(y\) (\(x = 0\)).

Из графика видно, что график функции \(f(x) = x^2 + 4x + 3\) пересекает ось \(x\) в точках \((-3, 0)\) и \((-1, 0)\), и пересекает ось \(y\) в точке \((0, 3)\).

2. Экстремум функции (введите целое число - положительное или отрицательное): \(f(-2) = -1\). Это минимум функции.