Какое максимальное значение принимает функция y=16x-5sinx+3 на интервале [-п/2

Для решения данной задачи мы должны найти максимальное значение функции \(y = 16x - 5\sin x + 3\) на заданном интервале \((-\pi/2, \pi/2)\).

Пошаговое решение:
1. Найдем производную функции \(y\) по переменной \(x\):

\[\frac{{dy}}{{dx}} = 16 - 5\cos x\]

2. Чтобы найти критические точки функции, приравняем производную к нулю и решим уравнение:

\(16 - 5\cos x = 0\)

3. Решим уравнение \(16 - 5\cos x = 0\):

\(5\cos x = 16\)

\(\cos x = \frac{{16}}{{5}}\)

4. Найдем значения \(x\), удовлетворяющие уравнению \(\cos x = \frac{{16}}{{5}}\) на интервале \((-\pi/2, \pi/2)\). Для этого возьмем обратный косинус от обоих частей:

\(x = \arccos \left(\frac{{16}}{{5}}\right)\)

Заметим, что значение \(\arccos \left(\frac{{16}}{{5}}\right)\) является около 1,159 радиан или примерно 66,3 градуса.

5. Теперь нам нужно проверить значения функции в найденных точках \(x\) и на концах интервала, чтобы найти максимальное значение. Подставим \(x\) в исходную функцию:

\[
y(x) = 16x - 5\sin x + 3
\]

Для \(x = -\pi/2\) получаем:

\[
y(-\pi/2) = 16 \cdot \left(-\frac{\pi}{2}\right) - 5\sin \left(-\frac{\pi}{2}\right) + 3
\]

Для \(x = \arccos \left(\frac{{16}}{{5}}\right)\) получаем:

\[
y\left(\arccos \left(\frac{{16}}{{5}}\right)\right) = 16\left(\arccos \left(\frac{{16}}{{5}}\right)\right) - 5\sin \left(\arccos \left(\frac{{16}}{{5}}\right)\right) + 3
\]

Для \(x = \pi/2\) получаем:

\[
y(\pi/2) = 16 \cdot \left(\frac{\pi}{2}\right) - 5\sin \left(\frac{\pi}{2}\right) + 3
\]

6. Сравним полученные значения и выберем наибольшее из них. Это будет максимальное значение функции \(y\) на интервале \((-\pi/2, \pi/2)\).

Я рассчитаю эти значения для вас.