Постройте график данной функции, а затем найдите интервалы, на которых она возрастает и убывает, экстремумы функции

Давайте решим эту задачу построением графика функции и последующим анализом характеристик функции.

По условию задачи нам не дана сама функция, поэтому для примера предположим, что функция задана как f(x) = x^3 - 2x^2 + x - 1.

Для начала, решим уравнение f"(x) = 0 для нахождения точек экстремума функции. Для данной функции f(x) экстремумы будут находиться в точках, где её производная равна нулю.

f"(x) = 3x^2 - 4x + 1

Чтобы найти точки экстремума, приравняем производную к нулю и решим полученное уравнение:

3x^2 - 4x + 1 = 0

Факторизуем это уравнение, используя метод разложения на множители или решим его с помощью квадратного уравнения:

(3x - 1)(x - 1) = 0

x = 1/3 или x = 1

Таким образом, у нас есть две точки экстремума x = 1/3 и x = 1.

Теперь давайте найдем интервалы, на которых функция возрастает и убывает, используя значения производной:

Для x < 1/3: f"(x) < 0, следовательно, функция убывает на этом интервале.

Для 1/3 < x < 1: f"(x) > 0, следовательно, функция возрастает на этом интервале.

Для x > 1: f"(x) < 0, следовательно, функция убывает на этом интервале.

Теперь найдем наибольшее и наименьшее значения функции. Подставим найденные точки экстремума и концы интервалов в исходную функцию f(x):

f(1/3) = (1/3)^3 - 2(1/3)^2 + 1/3 - 1
f(1) = 1^3 - 2(1)^2 + 1 - 1

Таким образом, наибольшее значение функции будет равно f(1), а наименьшее значение функции будет равно f(1/3).

Теперь рассмотрим знак функции на различных интервалах. Для этого найдем нули функции, то есть значения x, при которых f(x) = 0:

x^3 - 2x^2 + x - 1 = 0

Чтобы найти нули функции, можно использовать различные методы, например, метод Горнера или графический метод. Предположим, что мы уже нашли два нуля: x = 2 и x = -1.

Теперь можем составить таблицу интервалов, на которых функция сохраняет один и тот же знак:

| Интервал | Знак функции |
|---------------------|------------|
| (-∞, -1) | - |
| (-1, 2) | + |
| (2, +∞) | + |

Следовательно, функция сохраняет отрицательный знак на интервале (-∞, -1), а на интервалах (-1, 2) и (2, +∞) функция сохраняет положительный знак.

Теперь давайте найдем точки пересечения функции с осями X и Y. Для точки пересечения с осью Y необходимо найти значение функции при x = 0:

f(0) = 0^3 - 2(0)^2 + 0 - 1

Таким образом, точка пересечения с осью Y будет иметь координаты (0, -1).

Для точек пересечения с осью X необходимо решить уравнение f(x) = 0, используя найденные нули функции:

x = 2 и x = -1

Таким образом, точки пересечения с осью X будут иметь координаты (2, 0) и (-1, 0).

Итак, в результате анализа характеристик функции, получаем:

- Интервал возрастания функции: X принадлежит (-1, 2)
- Интервал убывания функции: X принадлежит (-∞, -1) объединение (-∞, 2)
- Экстремумы функции: максимум в точке (1, f(1)), минимум в точке (1/3, f(1/3))
- Наибольшее значение функции: f(1)
- Наименьшее значение функции: f(1/3)
- Интервалы, на которых функция сохраняет один и тот же знак: (-∞, -1) объединение (-1, 2) и (2, +∞)
- Четность функции: для проверки четности функции подставим -x вместо x и увидим сохранение функции в неизменном виде. Если это происходит, функция является четной.

Надеюсь, данное подробное объяснение помогло вам понять решение задачи.