Для каких значений параметра a корни уравнения х2–ах + 2 = 0 будут находиться в интервале

Для решения этой задачи нам нужно найти значения параметра \(a\), при которых корни уравнения \(x^2 - ax + 2 = 0\) будут находиться в интервале \(x \in (-\infty, a)\).

Для начала, давайте вспомним, как решать квадратные уравнения. Мы можем использовать квадратное уравнение для нахождения корней: \(x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\), где \(a\), \(b\), и \(c\) - это коэффициенты уравнения \(ax^2 + bx + c = 0\).

В нашем уравнении \(x^2 - ax + 2 = 0\) мы видим, что коэффициент \(b\) равен \(-a\), коэффициент \(a\) равен \(1\), и коэффициент \(c\) равен \(2\). Теперь мы можем применить формулу для нахождения корней:

\[x = \frac{-(-a) \pm \sqrt{(-a)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2}}{2 \cdot 1}\]

Упрощая это уравнение, мы получаем:

\[x = \frac{a \pm \sqrt{a^2 - 8}}{2}\]

Теперь, чтобы узнать, в каком интервале \(x\) будут находиться корни этого уравнения, мы должны установить условие на дискриминант \(a^2 - 8\).

Дискриминант - это значение, на основе которого мы можем сделать выводы о том, сколько корней у квадратного уравнения и где они находятся. Если дискриминант положителен (\(D > 0\)), то уравнение имеет 2 различных корня. Если дискриминант равен нулю (\(D = 0\)), то уравнение имеет 1 корень (дублирующийся корень). Если дискриминант отрицателен (\(D < 0\)), то уравнение не имеет действительных корней.

В нашем случае, для того чтобы корни уравнения \(x^2 - ax + 2 = 0\) находились в интервале \(x \in (-\infty, a)\), нам нужно, чтобы оба корня были меньше \(a\). То есть, мы должны удовлетворить следующему условию:

\[x_1 < a\] и \[x_2 < a\]

Пользуясь полученной выше формулой для корней уравнения, мы можем записать это условие следующим образом:

\[\frac{a + \sqrt{a^2 - 8}}{2} < a\] и \[\frac{a - \sqrt{a^2 - 8}}{2} < a\]

Решим первое неравенство:

\[\frac{a + \sqrt{a^2 - 8}}{2} < a\]

Умножим обе части неравенства на 2:

\[a + \sqrt{a^2 - 8} < 2a\]

Вычтем \(a\) из обеих частей:

\[\sqrt{a^2 - 8} < a\]

Теперь возводим обе части неравенства в квадрат (так как корни квадратные):

\[a^2 - 8 < a^2\]

Отсюда видно, что неравенство выполняется для любого значения \(a\), так как \(a^2 - 8\) всегда будет меньше \(a^2\).

Перейдем ко второму неравенству:

\[\frac{a - \sqrt{a^2 - 8}}{2} < a\]

Умножим обе части на 2:

\[a - \sqrt{a^2 - 8} < 2a\]

Вычтем \(a\) из обеих частей:

\[- \sqrt{a^2 - 8} < a\]

Теперь возведем обе части неравенства в квадрат:

\[a^2 - 8 > a^2\]

Здесь мы видим, что неравенство не выполняется для любого значения \(a\), так как \(a^2 - 8\) не может быть больше \(a^2\).

Таким образом, мы приходим к выводу, что корни уравнения \(x^2 - ax + 2 = 0\) будут находиться в интервале \(x \in (-\infty, a)\) для всех значений параметра \(a\).