Как найти решение уравнения, где a меньше нуля, и равно 1/3*a^2 в квадрате, равно корню из 81*a в шестой степени?

Хорошо, давайте решим данное уравнение на шаги. У нас есть следующее уравнение:

\[\left(-\frac{1}{3}a^2\right)^2 = \sqrt[6]{81a}\]

Для начала, давайте возведем выражение \(-\frac{1}{3}a^2\) в квадрат. Чтобы это сделать, мы просто умножим выражение на само себя:

\[\left(-\frac{1}{3}a^2\right)^2 = \left(-\frac{1}{3}a^2\right)\left(-\frac{1}{3}a^2\right)\]

Чтобы упростить это выражение, умножим числитель на числитель и знаменатель на знаменатель:

\[\left(-\frac{1}{3}a^2\right)^2 = \frac{1}{9}a^4\]

Теперь давайте рассмотрим правую сторону уравнения. У нас есть корень из \(81a\) в шестой степени. Чтобы поднять корень к степени, мы возводим выражение в шестую степень:

\[\sqrt[6]{81a} = (81a)^{\frac{1}{6}}\]

В качестве следующего шага, мы знаем, что \((ab)^n = a^n \cdot b^n\). Применяя этот закон, мы можем записать:

\[(81a)^{\frac{1}{6}} = (81)^{\frac{1}{6}} \cdot a^{\frac{1}{6}}\]

Мы знаем, что \((a^m)^n = a^{mn}\). Применяя это правило, мы можем применить его к первому члену уравнения:

\[(81)^{\frac{1}{6}} = (9^2)^{\frac{1}{6}} = 9^{\frac{2}{6}} = 9^{\frac{1}{3}}\]

Теперь, с учетом этих упрощений, у нас есть следующее уравнение:

\[\frac{1}{9}a^4 = 9^{\frac{1}{3}} \cdot a^{\frac{1}{6}}\]

Теперь мы можем сравнивать степени \(a\) на обеих сторонах уравнения. Так как их показатели равны, коэффициенты должны быть равными тоже. Таким образом, мы можем записать:

\[\frac{1}{9}a^4 = a^{\frac{1}{6}}\]

Для решения этого уравнения возведем обе стороны в шестую степень:

\[\left(\frac{1}{9}a^4\right)^6 = \left(a^{\frac{1}{6}}\right)^6\]

Выполняя необходимые вычисления, мы получим:

\[\left(\frac{1}{9}a^4\right)^6 = a^{\frac{6}{6}}\]

\[\left(\frac{1}{9}\right)^6(a^4)^6 = a^1\]

Теперь, выполнив возведение в степень и упрощение выражения, мы получим:

\[\frac{1}{9^6}a^{24} = a\]

Мы можем умножить обе стороны уравнения на \(9^6\), чтобы избавиться от знаменателя:

\[a^{24} = 9^6 \cdot a\]

Таким образом, видим, что уравнение имеет корни, где \(a^{24} = 9^6 \cdot a\).

Подводя итог, решение данного уравнения это \(a^{24} = 9^6 \cdot a\).