Постройте диаграмму для функции y=(x-3)²-2 и определите интервалы, на которых функция возрастает и убывает

Хорошо, давайте начнем с разбора функции \(y=(x-3)^2-2\).

Для построения диаграммы этой функции необходимо сначала найти вершину параболы и ось симметрии.

Уравнение \(y=(x-3)^2-2\) представляет квадратичную функцию в вершинно-осной форме. Вершина параболы имеет координаты \((h, k)\), где \(h\) - это абсцисса вершины, а \(k\) - это ордината вершины. В данном случае, по сравнению с общим видом \(y=a(x-h)^2+k\), \(h=3\) и \(k=-2\), следовательно, вершина находится в точке \((3, -2)\).

Теперь найдем ось симметрии параболы. Ось симметрии всегда проходит через вершину параболы и является вертикальной прямой. В данном случае ось симметрии является прямой с уравнением \(x=3\).

Теперь построим диаграмму. На горизонтальной оси отметим значения x вблизи оси симметрии, а на вертикальной оси отметим значения y, соответствующие данным значениям x.

Для упрощения, возьмем несколько значений x до и после оси симметрии, например, x=-1, x=1, x=2, x=4, и x=5. Затем подставим их в уравнение \(y=(x-3)^2-2\) и найдем соответствующие значения y.

При x=-1:
\(y=(-1-3)^2-2=(-4)^2-2=16-2=14\)

При x=1:
\(y=(1-3)^2-2=(-2)^2-2=4-2=2\)

При x=2:
\(y=(2-3)^2-2=(-1)^2-2=1-2=-1\)

При x=4:
\(y=(4-3)^2-2=(1)^2-2=1-2=-1\)

При x=5:
\(y=(5-3)^2-2=(2)^2-2=4-2=2\)

Теперь, используя найденные значения, можем построить график функции \(y=(x-3)^2-2\):

\[
\begin{array}{c|c}
x & y \\
\hline
-1 & 14 \\
1 & 2 \\
2 & -1 \\
4 & -1 \\
5 & 2 \\
\end{array}
\]

Используя эти точки, можем построить параболу. Вершина параболы будет находиться в точке \((3, -2)\), а ось симметрии будет проходить через эту точку и быть вертикальной прямой.

Для определения интервалов, на которых функция возрастает и убывает, необходимо проанализировать знак производной функции. Если производная положительна в данном интервале, функция возрастает, а если отрицательна, функция убывает.

Выразим функцию \(y=(x-3)^2-2\) в общем виде \(y=ax^2+bx+c\), где \(a=1\), \(b=-6\) и \(c=7\).

Найдем производную функции:
\[\frac{dy}{dx}=2ax+b\]
\[\frac{dy}{dx}=2x-6\]

Для нахождения интервалов, на которых функция возрастает и убывает, приравняем производную к нулю и найдем точку экстремума:
\[2x-6=0\]
\[2x=6\]
\[x=3\]

Из этого следует, что функция имеет точку экстремума в точке \((3, -2)\).

Теперь можем проанализировать знак производной и определить интервалы возрастания и убывания функции:

1. В интервале \((-\infty, 3)\), производная \(\frac{dy}{dx}\) отрицательна (\(2x-6<0\)), следовательно, функция убывает.

2. В интервале \((3, +\infty)\), производная \(\frac{dy}{dx}\) положительна (\(2x-6>0\)), следовательно, функция возрастает.

Итак, функция \(y=(x-3)^2-2\) убывает на интервале \((-\infty, 3)\) и возрастает на интервале \((3, +\infty)\).

Диаграмма графика функции \(y=(x-3)^2-2\) выглядит следующим образом:

\[_________\uparrow(\infty)\uparrow_________|\downarrow(-\infty)\downarrow_________\]

Надеюсь, мой ответ был понятен и информативен для школьника. Если у вас есть дополнительные вопросы, не стесняйтесь задавать!