Поискайте максимальное и / или минимальное значение функции: y=3x^2-24x-100. а) на интервале [-1; 5]; б) на луче

а) Для нахождения максимального и минимального значения функции на интервале \([-1, 5]\), мы будем использовать метод дифференциального исчисления. Сначала найдем производную функции \(y = 3x^2 - 24x - 100\).

\[\frac{{dy}}{{dx}} = 6x - 24\]

Для определения экстремумов, приравняем производную к нулю и найдем значения \(x\):

\[6x - 24 = 0\]

\[6x = 24\]

\[x = \frac{{24}}{{6}} = 4\]

Таким образом, точка \(x = 4\) может быть потенциальным максимумом или минимумом функции.

Чтобы определить тип экстремума, проанализируем знак второй производной:

\[\frac{{d^2y}}{{dx^2}} = 6\]

Поскольку вторая производная положительная (\(6 > 0\)), это означает, что у нас есть минимум функции.

Теперь найдем значение функции \(y\) в точках концов интервала \([-1, 5]\):

\[y(-1) = 3(-1)^2 - 24(-1) - 100 = 3 + 24 - 100 = -73\]
\[y(5) = 3(5)^2 - 24(5) - 100 = 75 - 120 - 100 = -145\]

Таким образом, на интервале \([-1, 5]\) функция \(y = 3x^2 - 24x - 100\) достигает минимального значения -145 в конце интервала.

б) Для нахождения максимального и минимального значения функции на луче \((-\infty, +\infty)\), мы можем просто рассмотреть пределы функции при \(x \to \pm \infty\).

По определению предела, когда \(x\) стремится к бесконечности, мы можем игнорировать члены с низкими степенями (\(3x^2\) и \(-24x\)), так как они становятся незначительными по сравнению с бесконечно большими значениями \(x\).

Таким образом, наша функция примерно упрощается до \(y = 3x^2\).

Как мы видим, это парабола с положительным коэффициентом при \(x^2\), поэтому ее значение будет стремиться к бесконечности при \(x \to \pm \infty\).

Это значит, что для луча \((-\infty, +\infty)\) нет определенных минимальных или максимальных значений функции \(y = 3x^2 - 24x - 100\).

Надеюсь, это понятно и полезно для вас! Если у вас есть другие вопросы, не стесняйтесь задавать.