Подтвердите, что значение выражения не зависит от x при всех возможных значениях х. Подробно решите выражение (x/(x+2

Хорошо! Давайте рассмотрим данное выражение подробно:

\[
\frac{x}{{x+2}} - (x-2)^2 \cdot \left(\frac{1}{{x^2-4}} + \frac{1}{{x^2-4x+4}}\right)
\]

Чтобы доказать, что значение выражения не зависит от x независимо от его значения, мы можем упростить выражение и убедиться, что x не появляется в финальном результате.

Давайте начнем:

1. Выполним умножение внутри скобок:
\[
(x-2)^2 = x^2 - 4x + 4
\]

2. Теперь заметим, что \(x^2-4x+4\) и \(x^2-4\) являются факторами общего числителя:

\[
\frac{1}{{x^2-4}} + \frac{1}{{x^2-4x+4}} = \frac{1}{{x^2-2^2}} + \frac{1}{{(x-2)^2}} = \frac{1}{{(x+2)(x-2)}} + \frac{1}{{(x-2)^2}}
\]

3. Теперь объединим числители в общий знаменатель:
\[
\frac{1}{{(x+2)(x-2)}} + \frac{1}{{(x-2)^2}} = \frac{{(x-2) + (x+2)}}{{(x+2)(x-2)(x-2)}} = \frac{{2x}}{{(x+2)(x-2)^2}}
\]

4. Теперь подставим полученный результат в исходное выражение:
\[
\frac{x}{{x+2}} - (x-2)^2 \cdot \left(\frac{1}{{x^2-4}} + \frac{1}{{x^2-4x+4}}\right) = \frac{x}{{x+2}} - (x-2)^2 \cdot \frac{{2x}}{{(x+2)(x-2)^2}}
\]

5. Нам нужно упростить данный результат и выразить его без использования переменной x:
\[
\frac{x}{{x+2}} - (x-2)^2 \cdot \frac{{2x}}{{(x+2)(x-2)^2}} = \frac{x}{{x+2}} - \frac{{2x}}{{x+2}} = 0
\]

Таким образом, значение выражения равно нулю при любых значениях x. Мы показали, что данное выражение не зависит от x и всегда будет равно нулю.