Подтвердите, что функция y=5e^3x является решением дифференциального уравнения y =-2y

Хорошо, давайте вместе решим данную задачу.

Дано дифференциальное уравнение: y" = -2y

Для подтверждения, что функция y = 5e^(3x) является решением данного дифференциального уравнения, необходимо произвести двойную дифференциацию функции y и подставить полученные значения в уравнение.

Поэтапное решение:

1. Найдем первую производную y"(x) функции y = 5e^(3x).
Правило дифференцирования для функций вида f(x) = a*e^(kx), где a и k - постоянные числа, состоит в том, что производная равна произведению постоянной a и экспоненты e^(kx), умноженной на производную экспоненты вида e^(kx), которая равна k*e^(kx).
Применим это правило:
y"(x) = 5 * 3 * e^(3x) = 15e^(3x)

2. Найдем вторую производную y""(x) функции y = 5e^(3x).
Продифференцируем полученное выше выражение y"(x) = 15e^(3x) аналогичным образом:
y""(x) = 15 * 3 * e^(3x) = 45e^(3x)

3. Теперь подставим значения y""(x) и y(x) = 5e^(3x) в исходное дифференциальное уравнение y" = -2y:
45e^(3x) = -2 * 5e^(3x)

4. Обратите внимание, что правая и левая части уравнения имеют одну и ту же функцию e^(3x) и поэтому можно сравнить коэффициенты перед ними:
45 = -10

5. Получаем некорректное уравнение, поскольку 45 не равно -10.

Таким образом, мы установили, что функция y = 5e^(3x) не является решением данного дифференциального уравнения y" = -2y.