Подтвердите, что фигура abcd является ромбом, если координаты точек a(9,2,8), b(5,3,-2), c(-3,-4,-4) и d(1,-5,6)​

Чтобы подтвердить, что фигура ABCD является ромбом, нам нужно проверить два условия. Во-первых, все стороны ромба должны быть равными, и, во-вторых, диагонали ромба должны быть перпендикулярными.

Шаг 1: Рассчитаем длины сторон фигуры ABCD. Для этого мы можем использовать формулу расстояния между двумя точками в трехмерном пространстве:

\[d = \sqrt{{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2}}\]

Где (x1, y1, z1) и (x2, y2, z2) - координаты двух точек.

Подставляя координаты точек a, b, c и d в данную формулу, мы получаем:

Строна AB:
\[d_{AB} = \sqrt{{(5 - 9)^2 + (3 - 2)^2 + (-2 - 8)^2}} = \sqrt{{16 + 1 + 100}} = \sqrt{{117}}\]

Строна BC:
\[d_{BC} = \sqrt{{(-3 - 5)^2 + (-4 - 3)^2 + (-4 + 2)^2}} = \sqrt{{64 + 49 + 4}} = \sqrt{{117}}\]

Строна CD:
\[d_{CD} = \sqrt{{(1 + 3)^2 + (-5 + 4)^2 + (6 + 2)^2}} = \sqrt{{16 + 1 + 64}} = \sqrt{{81}}\]

Строна DA:
\[d_{DA} = \sqrt{{(9 + 1)^2 + (2 + 5)^2 + (8 - 6)^2}} = \sqrt{{100}} = 10\]

Шаг 2: Теперь проверим, являются ли диагонали AC и BD перпендикулярными. Для этого мы можем воспользоваться свойством диагоналей ромба, которое гласит, что диагонали ромба перпендикулярны и делят его пополам.

Векторы диагоналей AC и BD можно найти как разность координат:

Диагональ AC:
\[\vec{AC} = \vec{C} - \vec{A} = (-3, -4, -4) - (9, 2, 8) = (-12, -6, -12)\]

Диагональ BD:
\[\vec{BD} = \vec{D} - \vec{B} = (1, -5, 6) - (5, 3, -2) = (-4, -8, 8)\]

Теперь мы можем проверить условие перпендикулярности с помощью скалярного произведения векторов:

\[\vec{AC} \cdot \vec{BD} = (-12) \cdot (-4) + (-6) \cdot (-8) + (-12) \cdot 8 = 48 + 48 - 96 = 0\]

Таким образом, диагонали AC и BD перпендикулярны.

Шаг 3: Проверяем, равны ли стороны между собой. Как мы рассчитали ранее, длины сторон AB, BC и CD равны \(\sqrt{117}\), а сторона DA равна 10.

Поскольку все стороны фигуры ABCD равны \(\sqrt{117}\), а диагонали AC и BD перпендикулярны, мы можем заключить, что фигура ABCD является ромбом.

Таким образом, мы подтвердили, что фигура ABCD с заданными координатами является ромбом.