Подтвердите ассоциативное свойство сложения положительных рациональных чисел. Какие операции можно выполнить

Ассоциативное свойство сложения положительных рациональных чисел утверждает, что порядок, в котором мы складываем эти числа, не влияет на их сумму. Другими словами, мы можем менять местами числа и все еще получим одинаковый результат.

Для доказательства ассоциативного свойства сложения положительных рациональных чисел рассмотрим три числа: \(a\), \(b\) и \(c\).

Согласно свойству, мы можем записать выражение \((a + b) + c\) или \(a + (b + c)\). Докажем, что они равны друг другу.

Начнем с выражения \((a + b) + c\). По определению сложения мы складываем числа \(a\) и \(b\) сначала, а затем прибавляем число \(c\). Сумму \(a + b\) обозначим за \(x\), таким образом \((a + b) + c = x + c\).

Теперь рассмотрим выражение \(a + (b + c)\). В этом случае, мы сначала складываем числа \(b\) и \(c\), получая сумму \(b + c\), которую обозначим за \(y\). Затем, мы складываем число \(a\) с этой суммой \(b + c\), то есть \(a + (b + c) = a + y\).

Если утверждение ассоциативного свойства сложения положительных рациональных чисел верно, то должно выполняться равенство \(x + c = a + y\).

Разберемся с этим равенством. Поскольку сумма \(x = a + b\) и сумма \(y = b + c\), у нас имеется:

\[x + c = (a + b) + c = a + (b + c) = a + y.\]

Таким образом, мы доказали, что выражения \((a + b) + c\) и \(a + (b + c)\) равны друг другу.

На основании ассоциативного свойства сложения положительных рациональных чисел, мы можем выполнять различные операции с выражениями. Например, нам позволяют менять порядок складываемых чисел в выражениях. Допустим, у нас есть выражение \(a + b + c\). Мы можем изменять порядок слагаемых и все равно получить одинаковую сумму:

\[a + b + c = (a + b) + c = a + (b + c).\]

Это позволяет упрощать вычисления и работать с выражениями более удобным способом.

Таким образом, ассоциативное свойство сложения положительных рациональных чисел является очень полезным и позволяет выполнять множество операций с выражениями, опираясь на эту свойство.