Найдите размеры меньшей стороны и площадь прямоугольника, заданные следующими условиями: большая сторона равна

Для решения данной задачи мы можем использовать теорему Пифагора, так как у нас есть информация о диагонали и одной из сторон прямоугольника.

Для нахождения меньшей стороны прямоугольника, обозначим её через \(a\). Из условия задачи, большая сторона равна 18 мм, а диагональ равна \(123−\sqrt{}\) мм. Тогда мы можем составить следующее уравнение по теореме Пифагора:

\[
a^2 + 18^2 = (123−\sqrt{})^2
\]

Раскроем скобки и приведем уравнение к квадратному виду:

\[
a^2 + 324 = 123^2 - 2 \cdot 123 \cdot \sqrt{} + (\sqrt{})^2
\]

Учитывая, что угол между диагональю и меньшей стороной составляет 60 градусов, мы можем использовать формулу косинуса для нахождения значения \(\sqrt{}\):

\[
\sqrt{} = \frac{a}{\cos{60^\circ}}
\]

Значение \(\cos{60^\circ}\) равно \(0,5\), поэтому:

\[
\sqrt{} = 2a
\]

Подставим это значение в наше уравнение:

\[
a^2 + 324 = 123^2 - 2 \cdot 123 \cdot 2a + (2a)^2
\]

Упростим выражение:

\[
a^2 + 324 = 15129 - 492a + 4a^2
\]

Приведем подобные слагаемые и перенесем все в одну часть уравнения:

\[
3a^2 + 492a - 14785 = 0
\]

Теперь мы можем решить данное квадратное уравнение. Используя формулу дискриминанта, мы можем найти два возможных значения для меньшей стороны \(a\):

\[
a_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a}, \quad a_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a}
\]

Где \(D\) - дискриминант, \(b\) - коэффициент при \(a\) и \(a\) - коэффициент при \(a^2\).

Дискриминант \(D\) будет равен:

\[
D = b^2 - 4ac = 492^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-14785) = 738048 - (-59140) = 797188
\]

\[D \approx 797188\]

Подставим значения в формулу и рассчитаем меньшую сторону \(a\):

\[a_1 = \frac{-492 + \sqrt{797188}}{2 \cdot 3}, \quad a_2 = \frac{-492 - \sqrt{797188}}{2 \cdot 3}\]

\[a_1 \approx 6.12\,мм, \quad a_2 \approx -84.78\,мм\]

Так как размеры прямоугольника не могут быть отрицательными, то меньшая сторона \(a\) равна примерно 6.12 мм.

Для нахождения площади прямоугольника, мы можем использовать следующую формулу:

\[S = a \cdot b\]

Подставив значение меньшей стороны \(a\) и большей стороны 18 мм, мы получим:

\[S = 6.12 \cdot 18 \approx 110.16 \, мм^2\]

Таким образом, меньшая сторона прямоугольника равна примерно 6.12 мм, а площадь прямоугольника равна примерно \(110.16 \, мм^2\).