Под какими значениями параметра a и c система уравнений будет иметь хотя бы одно решение, при любых значениях параметра

Хорошо, рассмотрим задачу и найдем условия для существования решений в каждом случае.

Ссылка на оригинальные задания:
1) [https://ege.sdamgia.ru/problem?id=484634](https://ege.sdamgia.ru/problem?id=484634)
2) [https://ege.sdamgia.ru/problem?id=527046](https://ege.sdamgia.ru/problem?id=527046)

Задача 1:
Перейдем к решению задачи. Дана система уравнений:

\[
\begin{{align*}}
x^2 - 4ax + 4c &= 0 \\
3x^2 + 12bx + c &= 0 \\
\end{{align*}}
\]

Мы хотим найти значения параметров \(a\) и \(c\), при которых система будет иметь хотя бы одно решение для любого значения параметра \(b\).

1. Начнем с допущения, что у системы есть хотя бы одно решение. Это означает, что дискриминанты обоих уравнений должны быть больше или равны нулю.

Для первого уравнения:

\[
D_1 = (-4a)^2 - 4\cdot 1 \cdot 4c \geq 0
\]
\[
16a^2 - 16c \geq 0
\]
\[
a^2 - c \geq 0
\] \[а \geq \sqrt{c}
\]

2. Также для второго уравнения:

\[
D_2 = (12b)^2 - 4\cdot 3 \cdot c \geq 0
\]
\[
144b^2 - 12c \geq 0
\]
\[
12b^2 - c \geq 0
\]

3. Объединим эти неравенства:

\[
\begin{{align*}}
а &\geq \sqrt{c} \\
b^2 &\geq \frac{c}{12} \\
\end{{align*}}
\]

4. После того, как мы вывели неравенства, давайте рассмотрим значения параметра \(b\):

- Если \(b = \pm 1\), то первое неравенство становится \(а \geq \sqrt{c}\), а второе неравенство становится \(1 \geq \frac{c}{12}\). Это означает, что \(c\) может быть в диапазоне от \(-\infty\) до \(-12\).

- Если \(b \neq \pm 1\), то первое неравенство все еще остается \(а \geq \sqrt{c}\), а второе неравенство становится \(b^2 \geq \frac{c}{12}\). Здесь второе неравенство не ограничивает \(c\) (оно может быть любым числом), но оно требует условие \(b^2 \geq \frac{c}{12}\).

Таким образом, при значениях параметра \(a\) и \(c\) в диапазоне \((- \infty, -4] \cup [4, +\infty)\) и любых значениях параметра \(b\) система будет иметь хотя бы одно решение.

Задача 2:
Перейдем к решению второй задачи. Дана система уравнений:

\[
\begin{{align*}}
x^2 - 4ax + 4c &= 0 \\
x^2 + 2bx + 9c &= 0 \\
\end{{align*}}
\]

Мы хотим найти условия для существования решений данной системы уравнений при любых значениях параметра \(b\).

1. Начнем с допущения о наличии решений. Для этого оба дискриминанта должны быть больше или равны нулю:

Для первого уравнения:

\[
D_1 = (-4a)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4c \geq 0
\]
\[
16a^2 - 16c \geq 0
\]
\[
a^2 - c \geq 0
\] \[а \geq \sqrt{c}
\]

2. Для второго уравнения:

\[
D_2 = (2b)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 9c \geq 0
\]
\[
4b^2 - 36c \geq 0
\]
\[
b^2 - 9c \geq 0
\] \[b^2 \geq 9c
\]

3. Объединим эти неравенства:

\[
\begin{{align*}}
a &\geq \sqrt{c} \\
b^2 &\geq 9c \\
\end{{align*}}
\]

4. Если рассмотреть значения параметра \(b\):

- Если \(b = \pm 1\), то первое неравенство принимает вид \(a \geq \sqrt{c}\), а второе неравенство — \(1 \geq 9c\). Из второго неравенства следует, что \(c\) может быть в диапазоне \(-\infty\) до \(\frac{1}{9}\).

- Если \(b \neq \pm 1\), то первое неравенство остается \(a \geq \sqrt{c}\), а второе неравенство принимает вид \(b^2 \geq 9c\). Здесь второе неравенство не ограничивает \(c\) (оно может быть любым числом), но требует \(b^2 \geq 9c\).

Таким образом, из условий исходной системы следует, что при любых значениях параметра \(a\), \(b\) и \(c\) система не будет иметь решений.

Надеюсь, это помогло вам понять, почему в случае 1 решения существуют при параметрах \(a\) и \(c\) в диапазоне \((- \infty, -4] \cup [4, +\infty)\), а в случае 2 решений не существует при любых значениях параметра \(a\), \(b\) и \(c\). Если у вас возникли еще вопросы, пожалуйста, не стесняйтесь задавать!