Какой знаменатель должен иметь геометрическая прогрессия, чтобы отношение суммы первых четырех членов к сумме первых

Чтобы решить данную задачу, нам необходимо воспользоваться формулой для суммы членов геометрической прогрессии. Данная формула выглядит следующим образом:

\[S_n = a_1 \cdot \frac{{1 - q^n}}{{1 - q}}\]

Где:
- \(S_n\) - сумма первых \(n\) членов прогрессии
- \(a_1\) - первый член прогрессии
- \(q\) - знаменатель прогрессии

Мы знаем, что отношение суммы первых четырех членов к сумме первых двух членов составляет \(\frac{{82}}{{81}}\). Мы можем записать это следующим образом:

\[\frac{{S_4}}{{S_2}} = \frac{{82}}{{81}}\]

Заменим \(S_4\) и \(S_2\) согласно формуле, используя обозначения \(a_1\) и \(q\):

\[\frac{{a_1 \cdot \frac{{1 - q^4}}{{1 - q}}}}{{a_1 \cdot \frac{{1 - q^2}}{{1 - q}}}} = \frac{{82}}{{81}}\]

Отбросим \(a_1\), так как это общий множитель:

\[\frac{{\frac{{1 - q^4}}{{1 - q}}}}{{\frac{{1 - q^2}}{{1 - q}}}} = \frac{{82}}{{81}}\]

Упростим пропорцию:

\[\frac{{1 - q^4}}{{1 - q^2}} = \frac{{82}}{{81}}\]

Для удобства умножим обе части на \((1-q^2)\) и раскроем скобки:

\[81 \cdot (1 - q^4) = 82 \cdot (1 - q^2)\]

Разложим скобки:

\[81 - 81q^4 = 82 - 82q^2\]

Перенесем все слагаемые в одну часть уравнения:

\[81 - 82 = 82q^2 - 81q^4\]

Упростим:

\[-1 = 82q^2 - 81q^4\]

Теперь решим уравнение. Выражение неравенства показывает, что это квадратное уравнение относительно \(q^2\). Заменим \(q^2\) на переменную \(x\), чтобы получить квадратное уравнение:

\[82x - 81x^2 - 1 = 0\]

Найдем корни этого уравнения с помощью квадратного корня:

\[x = \frac{{-b \pm \sqrt{{b^2 - 4ac}}}}{{2a}}\]

Где:
- \(a = -81\)
- \(b = 82\)
- \(c = -1\)

Подставим значения:

\[x = \frac{{-82 \pm \sqrt{{82^2 - 4 \cdot (-81) \cdot (-1)}}}}{{2 \cdot (-81)}}\]

Вычислим это выражение:

\[x_1 \approx 0.992018\]
\[x_2 \approx 0.012282\]

Так как \(q^2\) не может быть отрицательным, мы отбросим \(x_2\) и оставим только \(x_1\). Заменим снова переменную \(x\) на \(q^2\):

\[q^2 \approx 0.992018\]

Найдем значение \(q\) путем извлечения квадратного корня:

\[q \approx \sqrt{0.992018}\]

Округлим это значение до удобной десятичной дроби:

\[q \approx 0.996\]

Таким образом, знаменатель геометрической прогрессии должен быть примерно равен 0.996.